Question

Вася нарисовал выпуклый многоугольник, у которого больше трёх сторон, и провёл в нём все диагонали. Оказалось, что количество диагоналей кратно 1074. При каком наименьшем количестве сторон многоугольника такое могло быть?​

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Подбор

У квадрата больше 3 сторон и всего 2 диагонали

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу.

Количество диагоналей в выпуклом многоугольнике с n сторонами можно найти по формуле: D = n(n-3)/2, где D - количество диагоналей, n - количество сторон многоугольника.

Мы знаем, что D кратно 1074. Теперь нам нужно найти такое наименьшее n, при котором D кратно 1074.

1074 = 2 * 3 * 11 * 13

Чтобы D было кратно 1074, значит, n(n-3)/2 должно быть кратно 1074, и это означает, что n(n-3) должно быть кратно 2148 (поскольку 2 домножает на 1074).

Теперь давайте попробуем разложить 2148 на множители:

2148 = 2^2 * 3 * 179

Для того чтобы n(n-3) было кратно 2148, n и (n-3) должны быть целыми числами, и каждый из них должен делиться на эти простые множители (2, 3 и 179).

Теперь мы можем попробовать различные значения n и проверить, когда n и (n-3) соответствуют этим условиям и делятся на 2, 3 и 179. Переберем значения n, начиная с наименьших:

1. n = 4: n(n-3) = 4 * 1 = 4. Это не кратно 2148.
2. n = 5: n(n-3) = 5 * 2 = 10. Это не кратно 2148.
3. n = 6: n(n-3) = 6 * 3 = 18. Это не кратно 2148.
4. n = 7: n(n-3) = 7 * 4 = 28. Это не кратно 2148.
5. n = 8: n(n-3) = 8 * 5 = 40. Это не кратно 2148.
6. n = 9: n(n-3) = 9 * 6 = 54. Это не кратно 2148.
7. n = 10: n(n-3) = 10 * 7 = 70. Это не кратно 2148.
8. n = 11: n(n-3) = 11 * 8 = 88. Это не кратно 2148.
9. n = 12: n(n-3) = 12 * 9 = 108. Это не кратно 2148.
10. n = 13: n(n-3) = 13 * 10 = 130. Это не кратно 2148.
11. n = 14: n(n-3) = 14 * 11 = 154. Это не кратно 2148.
12. n = 15: n(n-3) = 15 * 12 = 180. Это кратно 2148!

Таким образом, наименьшее количество сторон многоугольника, при котором количество диагоналей кратно 1074, равно 15.