Question

Исследовать функцию, построить график F(X)=4(x-1)/x^2+8

Answer 1

Вот решение примера

Answer 2

Чтобы исследовать функцию F(x) = 4(x-1)/(x^2+8) и построить её график, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.

2. Найдем производные функции и выясним, где они равны нулю.

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции.

4. Найдем точки экстремума.

5. Определим интервалы выпуклости и вогнутости функции.

6. Найдем точки перегиба.

7. Построим график функции.

8. Область определения функции: Функция F(x) определена для всех действительных чисел x, так как знаменатель (x^2 + 8) всегда положителен.

9. Найдем производные функции: F(x) = 4(x-1)/(x^2+8)

Для вычисления производных используем правила дифференцирования. Первоначально упростим функцию:

F(x) = 4(x-1)/(x^2+8) = 4(x-1)/(x^2+8)

Теперь найдем производные:

F'(x) = (4 * (x^2 + 8) - 4(x-1) * 2x) / (x^2 + 8)^2 F'(x) = (4x^2 + 32 - 8x^2 + 8x) / (x^2 + 8)^2 F'(x) = (-4x^2 + 8x + 32) / (x^2 + 8)^2

3. Найдем, где производная равна нулю:

-4x^2 + 8x + 32 = 0

Это уравнение можно упростить, деля все его члены на -4:

x^2 - 2x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что x = 4 и x = -2 - два корня.

4. Определим интервалы возрастания и убывания функции: Для этого построим знаки производной на разных интервалах и используем тесты знаков. Рассмотрим интервалы (-бесконечность, -2), (-2, 4) и (4, +бесконечность).

• В интервале (-бесконечность, -2): F'(-3) = (-4 * (-3)^2 + 8 * (-3) + 32) / ((-3)^2 + 8)^2 = (-4 * 9 - 24 + 32) / (9 + 8)^2 = (-36 - 24 + 32) / (17)^2 = (-28) / (289) < 0

• В интервале (-2, 4): F'(0) = (-4 * 0^2 + 8 * 0 + 32) / (0^2 + 8)^2 = (0) / (64) = 0

• В интервале (4, +бесконечность): F'(5) = (-4 * 5^2 + 8 * 5 + 32) / (5^2 + 8)^2 = (-4 * 25 + 40 + 32) / (25 + 8)^2 = (-100 + 40 + 32) / (33)^2 = (-28) / (1089) < 0

Таким образом, функция возрастает на интервале (-2, 4) и убывает на интервалах (-бесконечность, -2) и (4, +бесконечность).

5. Найдем точки экстремума: Точки экстремума функции соответствуют значениям x, где производная равна нулю или не существует. Мы уже нашли, что F'(x) = 0 при x = -2 и x = 4.

6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости функции: Для этого используем вторую производную. Найдем F''(x):

F''(x) = d/dx (-4x^2 + 8x + 32) / (x^2 + 8)^2 F''(x) = (-8x + 8) / (x^2 + 8)^2

Теперь определим знак второй производной на интервалах (-бесконечность, -2), (-2, 4) и (4, +бесконечность):

• В интервале (-бесконечность, -2): F''(-3) = (-8 * (-3) + 8) / ((-3)^2 + 8)^2 = (24 + 8) / (9 + 8)^2 = (32) / (17)^2 > 0

• В интервале (-2, 4): F''(0) = (-8 * 0 + 8) / (0^2 + 8)^2 = (8) / (64) = 1/8 > 0

• В интервале (4, +бесконечность): F''(5) = (-8 * 5 + 8) / (5^2 + 8)^2 = (-40 + 8) / (25 + 8)^2 = (-32) / (33)^2 < 0

Таким образом, функция выпукла вверх на интервалах (-бесконечность, -2) и (-2, 4), и вогнута на интервале (4, +бесконечность).

7. Найдем точки перегиба: Точки перегиба функции соответствуют значениям x, где вторая производная меняет знак. Мы видим, что знак второй производной меняется в точке x = -2, поэтому это точка перегиба.

Теперь мы можем построить график функции F(x) = 4(x-1)/(x^2+8) с учетом всех полученных данных. Для удобства использования программы для построения графиков, такой как Matplotlib в Python, следует взять несколько точек на интервалах и нарисовать кривую, а затем соединить их.