Question

Исследовать и построить график функции y= x3-x/3 (игрик равно икс в кубе минус икс, деленное на три) пожалуйста помогите. Алгоритм исследования: Поиск ОДЗ Определить на четность и нечетность Точки пересечения с осями ординат Исследовать ф-ю на непрерывность (найти точки разрыва) Найти асимптоты Исследовать ф-ю на возрастание/убывание Найти экстрему Промежутки Выпуклости и вогнутости перегиба График ф-и

Answer 1

Давайте разберемся с исследованием функции \(y = x^3 - \frac{x}{3}\) шаг за шагом.

1. Поиск области допустимых значений (ОДЗ):

Выражение \(x^3 - \frac{x}{3}\) определено для любых действительных чисел \(x\). Таким образом, ОДЗ - это множество всех действительных чисел.

2. Определение на четность и нечетность:

Функция \(y = x^3 - \frac{x}{3}\) - это нечетная функция, так как она содержит только нечетные степени \(x\).

3. Точки пересечения с осями ординат:

Чтобы найти точки пересечения с осями, подставим \(x = 0\) для оси ординат: \[ y(0) = 0^3 - \frac{0}{3} = 0 \] Таким образом, точка пересечения с осью ординат - это начало координат (0, 0).

4. Исследование на непрерывность:

Функция рациональна, поэтому она непрерывна на всей своей области определения, за исключением точек разрыва, которых в данном случае нет.

5. Асимптоты:

Функция может иметь вертикальные асимптоты в точках, где знаменатель обращается в ноль. В данном случае у нас есть знаменатель \(\frac{x}{3}\), который обращается в ноль при \(x = 0\). Однако, поскольку это кубическая функция, она пересекает ось \(y\) в точке (0, 0), и эта точка не является вертикальной асимптотой.

Горизонтальных асимптот нет, так как степень числителя и знаменателя одинакова.

6. Исследование на возрастание/убывание:

Найдем производную функции: \[ y' = 3x^2 - \frac{1}{3} \] Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - \frac{1}{3} = 0 \] \[ x^2 = \frac{1}{9} \] \[ x = \pm \frac{1}{3} \]

Теперь проверим знак производной в интервалах между найденными точками и за пределами: - При \(x < -\frac{1}{3}\), \(y'\) положительна, значит, функция возрастает. - Между \(-\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{3}\), \(y'\) отрицательна, функция убывает. - При \(x > \frac{1}{3}\), \(y'\) снова положительна, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на интервалах \((-\infty, -\frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}, +\infty)\), и убывает на интервале \((-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})\).

7. Найти экстремум:

Так как функция убывает до точки \(-\frac{1}{3}\) и возрастает после этой точки, то точка \(-\frac{1}{3}, f\left(-\frac{1}{3}\right)\) - это локальный максимум. Точка \(\frac{1}{3}, f\left(\frac{1}{3}\right)\) - это локальный минимум.

8. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба:

Найдем вторую производную: \[ y'' = 6x \] Точка перегиба будет там, где вторая производная равна нулю, т.е. \(6x = 0\), следовательно, \(x = 0\).

Проверим знак второй производной: - При \(x < 0\), \(y''\) отрицательна, функция вогнута. - При \(x > 0\), \(y''\) положительна, функция выпукла.

Таким образом, точка перегиба в (0, 0), и функция выпукла слева от нее и вогнута справа.

9. Построение графика функции:

С учетом всей проведенной выше информации, мы можем построить график функции \(y = x^3 - \frac{x}{3}\). График будет проходить через начало координат, иметь локальный максимум в точке \(-\frac{1}{3}\) и локальный минимум в точке \(\frac{1}{3}\), а также точку перегиба в (0, 0). График будет убывать на интервале \((-\infty, -\frac{1}{3})\), возрастать на интервале \((-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})\) и снова возрастать на интервале \((\frac{1}{3}, +\infty)\).