Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения (x+1)2y''=1, удовлетворяющее начальным значениям y(0)=0, y'(0)=1 Выберите один ответ: a. y=2xx+1 b. y=1x+1−12x c. y=−xx+1+2x d. y=2x−ln(x+1)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Ответ: d

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения с начальными значениями, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Для этого начнем с общего решения уравнения:

$(x + 1)^2y'' = 1$

Сначала найдем общее решение этого уравнения. Для этого преобразуем его в более простую форму:

$y'' = \frac{1}{(x + 1)^2}$

Теперь интегрируем обе стороны уравнения два раза. Первый раз для получения $y'$, а второй раз для получения $y$:

$y' = \int \frac{1}{(x + 1)^2} dx$ $y = \int y' dx$

Интегрирование:

$y' = -\frac{1}{x + 1} + C_1$ $y = -\ln|x + 1| + C_1x + C_2$

Теперь у нас есть общее решение в виде функции $y(x)$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.

Теперь мы можем использовать начальные значения $y(0) = 0$ и $y'(0) = 1$ для нахождения констант $C_1$ и $C_2$:

$y(0) = -\ln|0 + 1| + C_1 \cdot 0 + C_2 = -\ln(1) + C_2 = 0$ $C_2 = 0$

$y'(0) = -\frac{1}{0 + 1} + C_1 = -1 + C_1 = 1$ $C_1 = 2$

Итак, мы нашли значения констант $C_1 = 2$ и $C_2 = 0$.

Теперь, подставляя их обратно в общее решение, получаем частное решение:

$y(x) = -\ln|x + 1| + 2x$

Ответ: d. $y = 2x - \ln(x + 1)$