Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2+1 , y=2.

Answer 1

Ответ:    S = 2 кв. одиниці .

Пошаговое объяснение:

Будуємо графіки  :  y=x²+1  - парабола з вершиною у точці А ( 0 ; 1 ) ;

              у = 2  - пряма , паралельна Ох і проход. через точку В ( 0 ; 2 ) .

Площа утвореної фігури  S = ∫₋₁¹ ( 2- x² -1 )dx =∫₋₁¹ ( 1 -  x² )dx = ( x - x³/3)│₋₁¹=

= [ 1 - ( - 1 )³/3 ] - [ - 1 - ( - 1 )³/3 ] =  1 + 1/3 - ( - 1 + 1/3 ) = 1 + 1/3 + 1 - 1/3 = 2 .

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 1 и y = 2, мы должны найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения этих двух функций, решив уравнение:

x^2 + 1 = 2

Вычитаем 2 с обеих сторон:

x^2 - 1 = 0

Факторизуем левую сторону:

(x + 1)(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = -1 и x = 1.

Теперь мы можем вычислить площадь между этими двумя кривыми, интегрируя разницу y = (x^2 + 1) - 2 по интервалу [-1, 1]:

S = ∫[a, b] [(x^2 + 1) - 2] dx

где a = -1 и b = 1. Теперь вычислим этот интеграл:

S = ∫[-1, 1] (x^2 - 1) dx

S = [x^3/3 - x] |[-1, 1]

S = [(1^3/3 - 1) - (-1^3/3 - (-1))]

S = [(1/3 - 1) - (-1/3 - 1)]

S = [(1/3 - 1) + (1/3 + 1)]

S = [-2/3 + 2/3]

S = 0

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками y = x^2 + 1 и y = 2, равна 0.