Question

Для каждого параметра решите систему уравнения a²x+y=2 x+y=2a

Answer 1

$\begin{cases} a^2x+y=2\\x+y=2a \end{cases}$

Из первого уравнения вычтем второе:

$a^2x+y-x-y=2-2a$

$a^2x-x=2-2a$

$(a^2-1)x=2(1-a)$

$(a-1)(a+1)x=2(1-a)$

1. Если $a=1$, то уравнение принимает вид:

$(1-1)\cdot(1+1)\cdot x=2\cdot(1-1)$

$0\cdot x=0$

Решением данного уравнения является любое число.

Выражая из второго уравнения $y$, получим соотношение:

$y=2a-x$

Подставим значение $a=1$:

$y=2\cdot1-x=2-x$

Подставляя вместо $x$ произвольное значение $C$, поучим соответствующее значение $2-C$. Таким образом, решениями системы являются все пары чисел $(C;\ 2-C),\ C\in \mathbb{R}$.

2. Если $a=-1$, то уравнение принимает вид:

$(-1-1)\cdot(-1+1)\cdot x=2\cdot(-1-1)$

$0\cdot x=-4$

Полученное уравнение не имеет решений. Значит не имеет решений и система уравнений.

3. Если $a\neq \pm 1$, то разделим обе части уравнения на $(a-1)(a+1)$:

$x=\dfrac{2(1-a)}{(a-1)(a+1)}$

$x=-\dfrac{2}{a+1}$

Выразим из второго уравнения $y$:

$y=2a-x$

Подставим найденное значение $x$:

$y=2a-\left(-\dfrac{2}{a+1}\right)=2a+\dfrac{2}{a+1}=$ $\dfrac{2a(a+1)+2}{a+1}=\dfrac{2a^2+2a+2}{a+1}$

Ответ:

при $a=1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(C;\ 2-C),\ C\in \mathbb{R}$

при $a=-1$ система не имеет решений

при $a\neq \pm 1$ система имеет единственное решение $\left(-\dfrac{2}{a+1};\ \dfrac{2a^2+2a+2}{a+1}\right)$

Answer 2

Для каждого параметра "a" решим систему уравнений:

1. a²x + y = 2
2. x + y = 2a

Сначала решим уравнение (2) относительно "x":

x = 2a - y

Теперь подставим это выражение для "x" в уравнение (1):

a²(2a - y) + y = 2

Упростим:

2a³ - ay + y = 2

Теперь выразим "y" из этого уравнения:

y(1 - a) = 2 - 2a³

y = (2 - 2a³) / (1 - a)

Теперь, имея выражения для "x" и "y", мы можем записать решение системы для каждого параметра "a".