Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y=x2+2, y=0, x=-1, x=0

Answer 1

Ответ:  7/3=2,(3) (кв.ед).

Пошаговое объяснение:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Строим графики функций

y=x^2+2; y=0; x=-1; x=0.  (См. скриншот).

Площадь фигуры:

S=∫₋₁⁰(x²+2)dx = ∫₋₁⁰x²dx + 2∫₋₁⁰dx = 1/3x³|₋₁⁰+2x|₋₁⁰=0³/3-(-1/3)+2*0-2(-1)= =1/3+2=7/3=2,(3) (кв.ед).

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2, y = 0, x = -1 и x = 0, мы можем воспользоваться методом определенного интеграла. Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 + 2 с осями x и y.

1. Для нахождения точек пересечения с осью x (где y = 0), решим уравнение:

x^2 + 2 = 0

x^2 = -2

x = ±√(-2)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как подкоренное выражение отрицательное. Означает, что кривая y = x^2 + 2 не пересекает ось x на действительных числах.

2. Для нахождения точек пересечения с осью y (где x = 0), мы подставим x = 0 в уравнение кривой:

y = 0^2 + 2 = 2

Таким образом, кривая пересекает ось y при y = 2.

Теперь мы видим, что кривая находится выше оси x (y > 0) в интервале между x = -1 и x = 0 и ниже оси x (y < 0) вне этого интервала.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этой кривой и осями x и y, нужно найти определенный интеграл от x = -1 до x = 0 для функции y = x^2 + 2 и затем взять модуль этого значения, так как фигура находится ниже оси x.

Интеграл:

∫[x=-1 to x=0] (x^2 + 2) dx

Вычислим интеграл:

∫[x=-1 to x=0] (x^2 + 2) dx = [x^3/3 + 2x] from -1 to 0

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

(0^3/3 + 20) - ((-1)^3/3 + 2(-1))

0 - (-1/3 - 2)

0 - (-1/3 - 6/3)

0 - (-7/3)

7/3

Теперь возьмем модуль этого значения, так как фигура находится ниже оси x:

|7/3| = 7/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 + 2, осями x и y, x = -1 и x = 0, равна 7/3 (площадных единиц).