Question

Наименьшее значение функции y= (x+8)e(x+9) на отрезке [-10; -8] равно ###

Answer 1

Ответ:

$-\frac{1}{4} e$

Пошаговое объяснение:

Найдём производную функции y. y' = ((x+8)(x+9)e)'=((x+8)(x+9))'e=((x+8)'(x+9)+(x+8)(x+9)')e=((1+0)(x+9)+(x+8)(1+0))e=(2x+17)e

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки возможного экстремума. (2x+17)e=0 ⇔ 2x+17=0⇔ x = $-\frac{17}{2}$=-8.5. Найдем знаки производной слева и справа от точки -8.5  на промежутке [-10; -8], слева производная будет отрицательна, слева положительна, а значит функция y будет принимать в точке  -8.5 наименьшее значение.

Найдем y(-8.5)= (-8.5+8)e(-8.5+9)= -0.5*e*0.5=-0.25e= $-\frac{1}{4} e$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = (x + 8)e^(x + 9) на отрезке [-10, -8], нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислите значение функции в крайних точках отрезка:

   • Для x = -10: y = (-10 + 8)e^(-10 + 9) = (-2)e^(-1) = -2/e.
   • Для x = -8: y = (-8 + 8)e^(-8 + 9) = 0e^1 = 0.

2. Проверьте также значение функции внутри интервала. Для этого найдите производную функции и решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.

   f(x) = (x + 8)e^(x + 9) f'(x) = e^(x + 9) + (x + 8)e^(x + 9)

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

e^(x + 9) + (x + 8)e^(x + 9) = 0

Факторизуем e^(x + 9):

e^(x + 9)(1 + x + 8) = 0

Теперь решим уравнение (1 + x + 8) = 0:

1 + x + 8 = 0 x + 9 = 0 x = -9

3. Теперь найденная критическая точка x = -9 - это внутренняя точка на отрезке [-10, -8]. Найдем значение функции в этой точке:

   Для x = -9: y = (-9 + 8)e^(-9 + 9) = (-1)e^0 = -1.

Таким образом, наименьшее значение функции y = (x + 8)e^(x + 9) на отрезке [-10, -8] равно -2/e, и оно достигается в точке x = -10.