Question

((|X|+3)/(|2X|+2))2=((|X|-6)/(|X|-4))2 решить уравнение

Answer 1

Ответ:

x1 = (-11 - √409)/6; x2 = (11 + √409)/6

x3 = -9; x4 = 0; x5 = 9

Пошаговое объяснение:

Я степени обозначу ^2, как здесь принято, и внешние скобки поставлю квадратные, чтобы отличать от круглых и не путаться.

Заметим сразу, что |2x| = 2|x|. От умножения на 2 знак не меняется.

[ (|x|+3) / (2|x|+2) ]^2 = [ (|x|-6) / (|x|-4) ]^2

Здесь возможно два случая.

Первый случай. Выражения под квадратами противоположны.

(|x|+3) / (2|x|+2) = -(|x|-6) / (|x-4)

По правилу пропорции:

(|x| + 3)(|x| - 4) = -(2|x| + 2)(|x| - 6)

Здесь тоже возможны два случая.

1) x < 0; |x| = -x

(-x + 3)(-x - 4) = -(-2x + 2)(-x - 6)

-(3 - x)(x + 4) = (2 - 2x)(x + 6)

-3x + x^2 - 12 + 4x = 2x - 2x^2 + 12 - 12x

3x^2 + 11x - 24 = 0

D = 11^2 - 4*3(-24) = 121 + 288 = 409

x1 = (-11 - √409)/6 < 0 - подходит.

x2 = (-11 + √409)/6 > 0 - не подходит.

Решение: x1 = (-11 - √409)/6

2) x ≥ 0; |x| = x

(x + 3)(x - 4) = -(2x + 2)(x - 6)

x^2 + 3x - 4x - 12 = -2x^2 - 2x + 12x + 12

3x^2 - 11x - 24 = 0

D = (-11)^2 - 4*3(-24) = 121 + 288 = 409

x3 = (11 - √409)/6 < 0 - не подходит.

x4 = (11 + √409)/6 > 0 - подходит.

Решение: x2 = (11 + √409)/6

Второй случай. Выражения под квадратами равны.

(|x| + 3) / (2|x| + 2) = (|x| - 6) / (|x| - 4)

(|x| + 3)(|x| - 4) = (2|x| + 2)(|x| - 6)

Здесь опять возможны два случая.

1) x < 0; |x| = -x

(-x + 3)(-x - 4) = (-2x + 2)(-x - 6)

-(3 - x)(x + 4) = -(2 - 2x)(x + 6)

(3 - x)(x + 4) = (2 - 2x)(x + 6)

3x - x^2 + 12 - 4x = 2x - 2x^2 + 12 - 12x

x^2 + 9x = 0

x5 = -9 < 0 - подходит.

x6 = 0 - не подходит.

Решение: x3 = -9

2) x ≥ 0; |x| = x

(x + 3)(x - 4) = (2x + 2)(x - 6)

x^2 + 3x - 4x - 12 = 2x^2 + 2x - 12x - 12

0 = x^2 - 9x

x7 = 0 - подходит.

x8 = 9 > 0 - подходит.

Решение: x4 = 0; x5 = 9.

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения:

((|X|+3)/(|2X|+2))^2 = ((|X|-6)/(|X|-4))^2

Чтобы избавиться от знаков модуля, давайте рассмотрим четыре разных случая:

1. Когда X ≥ 0 и 2X ≥ 0:

В этом случае |X| = X и |2X| = 2X. Уравнение примет вид:

((X+3)/(2X+2))^2 = ((X-6)/(X-4))^2

2. Когда X ≥ 0 и 2X < 0:

В этом случае |X| = X, но |2X| = -2X. Уравнение примет вид:

((X+3)/(-2X+2))^2 = ((X-6)/(X-4))^2

3. Когда X < 0 и 2X ≥ 0:

В этом случае |X| = -X, но |2X| = 2X. Уравнение примет вид:

((-X+3)/(2X+2))^2 = ((-X-6)/(X-4))^2

4. Когда X < 0 и 2X < 0:

В этом случае |X| = -X и |2X| = -2X. Уравнение примет вид:

((-X+3)/(-2X+2))^2 = ((-X-6)/(X-4))^2

Теперь мы можем решить каждое из этих уравнений отдельно. Начнем с первого случая:

1. ((X+3)/(2X+2))^2 = ((X-6)/(X-4))^2

Умножим обе стороны на ((2X+2)/(X+3))^2:

1 = ((X-6)/(X-4))^2 * ((2X+2)/(X+3))^2

Теперь избавимся от степеней:

1 = ((X-6)/(X-4))^2 * ((2(X+1))/(X+3))^2

Теперь извлекаем квадратный корень с обеих сторон:

1 = (X-6)/(X-4) * 2(X+1)/(X+3)

Теперь умножим обе стороны на (X-4)(X+3), чтобы избавиться от знаменателей:

(X-4)(X+3) = 2(X-6)(X+1)

Раскроем скобки и упростим:

X^2 - X - 12 = 2X^2 - 10X - 12

Теперь выразим все члены в одной стороне и упростим:

0 = X^2 - X - 2X^2 + 10X

0 = -X^2 + 9X

Теперь факторизуем:

0 = -X(X - 9)

Теперь рассмотрим второй случай:

2. ((X+3)/(-2X+2))^2 = ((X-6)/(X-4))^2

Повторим аналогичные шаги:

1 = ((X-6)/(X-4))^2 * ((2(-X+1))/(X+3))^2

1 = (X-6)/(X-4) * 2(-X+1)/(X+3)

1 = (X-6)(-2X+2)/((X-4)(X+3))

Теперь умножим обе стороны на (X-4)(X+3), чтобы избавиться от знаменателей:

(X-4)(X+3) = (X-6)(-2X+2)

Раскроем скобки и упростим:

X^2 - X - 12 = -2X^2 + 14X - 12

Теперь выразим все члены в одной стороне и упростим:

0 = 3X^2 - 15X

Теперь факторизуем:

0 = 3X(X - 5)

Теперь рассмотрим третий случай:

3. ((-X+3)/(2X+2))^2 = ((-X-6)/(X-4))^2

Повторим аналогичные шаги:

1 = ((-X-6)/(X-4))^2 * ((2(-X+1))/(2X+2))^2

1 = (-X-6)/(X-4) * 2(-X+1)/(X+1)

1 = (-X-6)(-2X+2)/((X-4)(X+1))

Теперь умножим обе стороны на (X-4)(X+1), чтобы избавиться от знаменателей:

(X-4)(X+1) = (-X-6)(-2X+2)

Раскроем скобки и упростим:

X^2 - 3 = 2X^2 - 8

Теперь выразим все члены в одной стороне и упростим:

0 = X^2 - 2X^2 - 3 + 8

0 = -X^2 + 5

Теперь факторизуем:

0 = -(X-√5)(X+√5)

Теперь рассмотрим четвертый случай:

4. ((-X+3)/(-2X+2))^2 = ((-X-6)/(X-4))^2

Повторим аналогичные шаги:

1 = ((-X-6)/(X-4))^2 * ((2(-X+1))/(-2X+2))^2

1 = (-X-6)/(X-4) * 2(-X+1)/(-2X+2)

1 = (-X-6)(-2X+2)/((X-4)(-X+1))

Теперь умножим обе стороны на (X-4)(-X+1), чтобы избавиться от знаменателей:

(X-4)(-X+1) = (-X-6)(-2X+2)

Раскроем скобки и упростим:

X^2 - 3 = 2X^2 - 8

Теперь выразим все члены в одной стороне и упростим:

0 = X^2 - 2X^2 - 3 + 8

0 = -X^2 + 5

Теперь факторизуем:

0 = -(X-√5)(X+√5)

Итак, мы рассмотрели все четыре случая и в каждом случае получили два корня: X = √5 и X = -√5. Таким образом, решения уравнения ((|X|+3)/(|2X|+2))^2 = ((|X|-6)/(|X|-4))^2 равны X = √5 и X = -√5.