Question

Скласти загальне рівняння площини яка проходить через точку А (3;-4;1) паралельно площіні o x y​

Answer 1

Ответ:

Як знайти рівняння площини, що проходить через три точки?» – саме таке завдання часто підводить студентів. А схема знаходження площини досить проста і зрозуміла.

Перш за все необхідно, щоб точки не лежали на одній прямій. Але цієї умови ніхто не перевіряє, оскільки рідко який викладач задасть завдання на відшукання площини, коли в умові точки із прямої в просторі.

Якщо точки не містяться на одній прямій то вони однозначно визначають площину.

Виведемо формулу площини за відомими 3 точками.

Візьмемо додаткову точку М (х; у;z) з площини і знайдемо вектори, що виходять з однієї точки

М1М3=(x3-x1;y3-y1;z3-z1), М1М =

= (х -x1;y-y1;z-z1),M1М2=

=(х2 - х1; у2 — у1, z2 -z1).

Ці вектори лежать в площині П, тобто вони компланарні. Оскільки мішаний добуток компланарних векторів дорівнює нулю, то маємо векторний запис площини



та через координати



Якщо розкласти визначник за алгебраїчними доповненнями до першого рядка, щоб спростити і мати зручний запис, то отримаємо таку формулу площини



Таким чином, знайшовши визначники другого порядку та звівши подібні доданки, отримаємо загальне рівняння площини

Ax+By+Cz+D=0.

Answer 2

Щоб скласти загальне рівняння площини, яка проходить через точку A(3, -4, 1) і паралельно площині, заданій рівнянням o: x + y = 0, спершу потрібно знайти напрям вектора нормалі до площини o. Нормальний вектор площини o буде мати координати (1, 1, 0), оскільки коефіцієнти x і y в рівнянні площини o мають значення 1.

Тепер ми можемо скористатися цим нормальним вектором для створення загального рівняння площини, яка проходить через точку A та паралельна площині o. Загальне рівняння площини виглядає так:

Ax + By + Cz = D

Де (A, B, C) - нормальний вектор площини, а (x, y, z) - будь-яка точка в цій площині.

Ми вже знайшли нормальний вектор площини, тобто (1, 1, 0). Тепер нам потрібно знайти значення D, використовуючи координати точки A(3, -4, 1):

1 * 3 + 1 * (-4) + 0 * 1 = D 3 - 4 = D D = -1

Отже, загальне рівняння площини, яка проходить через точку A(3, -4, 1) та паралельна площині o: x + y = 0, має вигляд:

x + y - z = -1