Question

Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 8 , то получится квадрат натурального числа. Сколько существует таких трëхзначных чисел B, для которых A•B тоже является квадратом натурального числа?

Answer 1

Ответ: 533

Пошаговое объяснение: по моему 533, могу ошибаться)))))

Answer 2

Пусть \( A \) - это натуральное число, а \( B \) - трёхзначное число. Условие задачи гласит, что если умножить \( A \) на 8, то получится квадрат натурального числа. То есть, у нас есть равенство:

\[ 8A = k^2 \]

где \( k \) - натуральное число. Теперь давайте рассмотрим, что происходит при умножении \( A \) на \( B \):

\[ AB = \frac{k^2}{8} \]

Так как \( A \) и \( B \) трёхзначные числа, то \( A \) может принимать значения от 100 до 999 (включительно), а \( B \) от 100 до 999 (также включительно). Таким образом, мы ищем комбинации \( A \) и \( B \), для которых \( AB \) является квадратом натурального числа.

Поскольку \( \frac{k^2}{8} \) должно быть произведением \( A \) и \( B \), \( k \) должно быть кратным 2. Рассмотрим значения \( k \), которые удовлетворяют этому условию:

- При \( k = 2 \), \( A = 1 \) и \( B = 4 \). - При \( k = 4 \), \( A = 2 \) и \( B = 2 \). - При \( k = 8 \), \( A = 4 \) и \( B = 1 \).

Таким образом, у нас есть три комбинации: \( A = 1, B = 4 \), \( A = 2, B = 2 \) и \( A = 4, B = 1 \). Исходя из этого, существует три трёхзначных числа \( B \), для которых произведение \( A \cdot B \) является квадратом натурального числа.