Question

Найдите интеграл ∫х⁴(х-1)dх​

Answer 1

$∫x {}^{4} (x - 1)dx \\ ∫x {}^{5} - x {}^{4} dx \\ ∫x {}^{5} dx - ∫x {}^{4} dx \\ \frac{x {}^{6} }{6} - \frac{x {}^{5} }{5}$

$ОТВЕТ: \frac{x {}^{6} }{6} - \frac{x {}^{5} }{5} + C,C∈R$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫x^4(x-1)dx мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод позволяет свести интеграл к более простому виду.

Метод интегрирования по частям основан на формуле: ∫u*dv = u*v - ∫v*du.

Для данного интеграла мы выберем u = x^4 и dv = (x-1)dx. Тогда du = 4x^3dx и v = ∫(x-1)dx = (1/2)x^2 - x.

Используя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫x^4(x-1)dx = x^4 * ((1/2)x^2 - x) - ∫((1/2)x^2 - x) * 4x^3dx.

Раскрываем скобки и упрощаем: ∫x^4(x-1)dx = (1/2)x^6 - x^5 - 2x^6 + 4x^4dx.

Теперь объединяем подобные слагаемые: ∫x^4(x-1)dx = -(3/2)x^6 + 4x^4dx.

Таким образом, интеграл ∫x^4(x-1)dx равен -(3/2)x^6 + 4x^4 + C, где C - произвольная постоянная.