Question

Даны векторы a→{−2;1;−2} и b→{2;2;1}. Определи значение косинуса угла между этими векторами. Ответ: cos(a→b→)ˆ= .

Answer 1

Ответ:        cos(a→^b→) =  - 4/9 .

Пошаговое объяснение:

a→{−2;1;−2}  i  b→{2;2;1} ;        cos(a→^b→) - ?

cos(a→^b→) = ( a→* b→ )/| a→ | | b→| ;

a→* b→ = {−2;1;−2} * {2;2;1} = -2*2 + 1*2 + (- 2)*1 = - 4 ;

| a→ | = √[(- 2 )²+ 1² + (- 2 )²] = √9 = 3 ; | b→ | = √( 2²+ 1² +  2²)= √9 = 3 .

Підставляємо значення у формулу :

       cos(a→^b→) = - 4/( 3*3 ) = - 4/9 ;

Answer 2

Для определения значения косинуса угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) используем формулу для косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} \]

где \( \cdot \) обозначает скалярное произведение векторов, а \( \|\mathbf{v}\| \) обозначает длину (норму) вектора \( \mathbf{v} \).

Длина вектора \( \mathbf{a} \) (норма) вычисляется следующим образом:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

Аналогично, длина вектора \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \]

Для векторов \( \mathbf{a} = \langle -2, 1, -2 \rangle \) и \( \mathbf{b} = \langle 2, 2, 1 \rangle \) вычислим значения:

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]

Теперь вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2 \cdot 2) + (1 \cdot 2) + (-2 \cdot 1) = -4 + 2 - 2 = -4 \]

Теперь можем подставить значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} = \frac{-4}{3 \cdot 3} = \frac{-4}{9} \]

Таким образом, значение косинуса угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равно \( -\frac{4}{9} \).