Question

Найти производные функций при данном значении аргумента 1.f(z) = ln sin z; f ' (pi/6)2. F(x) = cos x + sin^2x; F'(0)3. f(x)= ln ctg x; f ' (pi/4)4. f(y) = e ^ cos2y; f ' (pi/4)

Answer 1

1. f(z) = ln(sinz); f'(pi/6)

f'(z) = 1/sinz * cosz = ctg(z)

f'(pi/6) = ctg(pi/6) = √3

2. F(x) = cos x + sin^2x; F'(0)

F'(x) = -sinx + 2sinxcosx

F'(0) = 0

3. f(x) = ln(ctgx); f'(pi/4)

f'(x) = 1/ctgx * -1/sin^2x = -1/(sinx*cosx)

f'(pi/4) = -2

4. f(y) = e^cos2y; f'(pi/4)

f'y = e^cos2y * -sin2y * 2 = -2sin2y * e^cos2y

f'(pi/4) = -2

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производные данных функций в указанных точках.

1. \( f(z) = \ln(\sin z) \); \( f'(\pi/6) \):

Начнем с использования цепного правила дифференцирования для функции \( \ln(\sin z) \).

\[ f(z) = \ln(\sin z) \] \[ f'(z) = \frac{1}{\sin z} \cdot \cos z \]

Теперь найдем значение производной в точке \( z = \pi/6 \):

\[ f'(\pi/6) = \frac{1}{\sin(\pi/6)} \cdot \cos(\pi/6) \] \[ f'(\pi/6) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ f'(\pi/6) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ f'(\pi/6) = \sqrt{3} \]

Ответ: \( f'(\pi/6) = \sqrt{3} \).

2. \( F(x) = \cos x + \sin^2 x \); \( F'(0) \):

Найдем производную функции \( F(x) \) сначала по отдельным частям:

\[ F(x) = \cos x + \sin^2 x \] \[ F'(x) = -\sin x + 2\sin x \cdot \cos x \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x = 0 \):

\[ F'(0) = -\sin(0) + 2\sin(0) \cdot \cos(0) \] \[ F'(0) = 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 \] \[ F'(0) = 0 \]

Ответ: \( F'(0) = 0 \).

3. \( f(x) = \ln(\cot x) \); \( f'(\pi/4) \):

Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f(x) = \ln(\cot x) \] \[ f'(x) = \frac{-1}{\sin x \cdot \cos x} \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x = \pi/4 \):

\[ f'(\pi/4) = \frac{-1}{\sin(\pi/4) \cdot \cos(\pi/4)} \] \[ f'(\pi/4) = \frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ f'(\pi/4) = \frac{-1}{\frac{1}{2}} \] \[ f'(\pi/4) = -2 \]

Ответ: \( f'(\pi/4) = -2 \).

4. \( f(y) = e^{\cos(2y)} \); \( f'(\pi/4) \):

Найдем производную функции \( f(y) \):

\[ f(y) = e^{\cos(2y)} \] \[ f'(y) = -\sin(2y) \cdot e^{\cos(2y)} \cdot 2 \]

Теперь найдем значение производной в точке \( y = \pi/4 \):

\[ f'(\pi/4) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) \cdot e^{\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4})} \cdot 2 \] \[ f'(\pi/4) = -\sin(\pi/2) \cdot e^{\cos(\pi/2)} \cdot 2 \] \[ f'(\pi/4) = -1 \cdot e^{0} \cdot 2 \] \[ f'(\pi/4) = -2 \]

Ответ: \( f'(\pi/4) = -2 \).