Question

Sin^6x+cos^6x=1\4 помогите решить

Answer 1

Ответ:

$sin^6x+cos^6x=\dfrac{1}{4}\\\\(sin^2x)^3+(cos^2x)^3=\dfrac{1}{4}\\\\(\underbrace{sin^2x+cos^2x}_{1})(sin^4x-sin^2x\cdot cos^2x+cos^4x)=\dfrac{1}{4}\\\\(sin^4x+2sin^2x\cdot cos^2x+cos^4x)-2sin^2x\cdot cos^2x-sin^2x\cdot cos^2x=\dfrac{1}{4}\\\\\underbrace{(sin^2x+cos^2x)^2}_{1^2=1}-3sin^2x\cdot cos^2x=\dfrac{1}{4}\\\\3sin^2x\cdot cos^2x=1-\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ \ 3sin^2x\cdot cos^2x=\dfrac{3}{4}\ \ ,\ \ \ sin^2x\cdot cos^2x=\dfrac{1}{4}\ \ ,$

$(sinx\cdot cosx)^2=\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ \ \Big(\dfrac{1}{2}\cdot sin2x\Big)^2=\dfrac{1}{4}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin^22x=1\ \ ,\\\\\dfrac{1-cos4x}{2}=1\ \ ,\ \ \ 1-cos4x=2\ \ ,\ \ \ cos4x=-1\ \ ,\\\\4x=\pi +2\pi n\ \ ,\ \ n=0,\pm 1,\pm 2\, ,...\\\\\boxed{\ x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ \ ,\ \ n=0,\pm 1,\pm 2,\, ...\ }$    

Answer 2

Извините за путаницу, но ваш вопрос содержит ошибки в уравнении. Верное уравнение, кажется, должно выглядеть как \( \sin^6x + \cos^6x = \frac{1}{4} \). Если это так, то давайте решим это уравнение.

Начнем с тождества для шестой степени синуса и косинуса:

\[ \sin^6x + \cos^6x = (\sin^2x + \cos^2x)(\sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x) \]

Так как \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), уравнение можно переписать:

\[ \sin^6x + \cos^6x = \sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x \]

Теперь заменим \(\sin^2x\) на \(1 - \cos^2x\):

\[ \sin^6x + \cos^6x = (1 - \cos^2x)^2 - (1 - \cos^2x)\cos^2x + \cos^4x \]

Раскроем скобки:

\[ \sin^6x + \cos^6x = 1 - 2\cos^2x + \cos^4x - \cos^2x + \cos^3x + \cos^4x \]

Теперь объединим подобные члены:

\[ \sin^6x + \cos^6x = 2\cos^4x - \cos^2x + \cos^3x + 1 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 2\cos^4x - \cos^2x + \cos^3x + 1 = \frac{1}{4} \]

Переносим все члены влево:

\[ 2\cos^4x - \cos^2x + \cos^3x - \frac{3}{4} = 0 \]

Теперь это уравнение можно решить относительно \(\cos x\). Для упрощения можно представить \(\cos^3x\) как \((\cos^2x)\cos x\):

\[ 2(\cos^2x)^2 - \cos^2x + \cos x - \frac{3}{4} = 0 \]

Обозначим \(\cos^2x\) как \(y\):

\[ 2y^2 - y + \cos x - \frac{3}{4} = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \(y\). Решив его, вы можете найти значения \(\cos^2x\), а затем взять корень из этих значений, чтобы найти \(\cos x\).

Надеюсь, это поможет вам решить уравнение.