Question

8.3. Коржик, Компот и Карамелька выписали на доске каждый 100 раз- личных названий блюд (в сумме 300). После чего повторяющиеся названия блюд стерли, и на доске осталось 27 блюд Коржика, 45 названий Компота и 53 названия Карамельки. Докажите, что среди выписанных первоначально блюд было как минимум одно, выписанное всеми тремя,

Answer 1

задача очень легкая,попробуй решить самостоятельно

Answer 2

Давайте рассмотрим общее количество выписанных блюд в начале процесса. По условию задачи каждое из блюд (Коржик, Компот, Карамелька) выписали по 100 раз, в сумме 300 блюд. Обозначим это количество как \(N\).

Теперь давайте посмотрим на количество блюд после стирания повторяющихся названий. По условию осталось 27 блюд Коржика, 45 названий Компота и 53 названия Карамельки.

Суммируем количество оставшихся блюд: \[ 27 + 45 + 53 = 125. \]

Теперь давайте воспользуемся принципом включения и исключения, чтобы найти общее количество уникальных блюд, выписанных на доске.

\[ N = \text{Количество блюд Коржика} + \text{Количество блюд Компота} + \text{Количество блюд Карамельки} - (\text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}) + \text{Количество блюд всех трех} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ 300 = 27 + 45 + 53 - (\text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}) + \text{Количество блюд всех трех} \]

Теперь найдем количество блюд всех трех категорий. Обозначим это число как \(x\).

\[ 300 = 27 + 45 + 53 - (x + \text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}) + x \]

Упростим уравнение:

\[ 300 = 125 - (\text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}) \]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает общее количество блюд с количеством блюд, оставшихся после стирания повторяющихся названий.

Так как мы ищем хотя бы одно блюдо, выписанное всеми тремя, давайте рассмотрим величину \(\text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}\). Если все эти три слагаемых равны нулю, то это будет означать, что нет блюд, выписанных всеми тремя.

Таким образом, наша задача сводится к решению следующей системы уравнений:

\[ 300 = 125 - (\text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}) \]

\[ \text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки} = 0 \]

Если эта система имеет решение, то существует хотя бы одно блюдо, выписанное всеми тремя категориями. Решим ее:

\[ 300 = 125 - (\text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки}) \]

\[ \text{Количество блюд Коржика и Компота} + \text{Количество блюд Коржика и Карамельки} + \text{Количество блюд Компота и Карамельки} = 175 \]

Таким образом, система имеет решение. Это означает, что существует хотя бы одно блюдо, выписанное всеми тремя категориями (Коржик, Компот, Карамелька).