Question

Помогите пожалуйста найдите производную функции и вычислите: 1) y=cos^2 x/6, y'(3Π/2); 2) y=In(5x-3), y'(1).​

Answer 1

Ответ:

ответы ниже и решение

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по порядку.

1) \(y = \cos^2\left(\frac{x}{6}\)\), \(y'\left(\frac{3\pi}{2}\right)\):

Для нахождения производной функции \(y\), применим правило цепочки (chain rule). Правило цепочки гласит, что производная композиции функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

\[\begin{split} y &= \cos^2\left(\frac{x}{6}\right) \\ y' &= 2\cos\left(\frac{x}{6}\right)\left(-\frac{1}{6}\sin\left(\frac{x}{6}\right)\right) \end{split}\]

Теперь, чтобы вычислить значение производной в точке \(\frac{3\pi}{2}\), подставим \(x = \frac{3\pi}{2}\) в полученное выражение:

\[y'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{3\pi}{2 \cdot 6}\right)\left(-\frac{1}{6}\sin\left(\frac{3\pi}{2 \cdot 6}\right)\right)\]

\[y'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(-\frac{1}{6}\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)\]

\[y'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{12}\right)\]

\[y'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6}\]

\[y'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{2}}{36}\]

2) \(y = \ln(5x-3)\), \(y'(1)\):

Для нахождения производной функции \(y = \ln(5x-3)\) используем правило дифференцирования логарифма:

\[y' = \frac{1}{5x-3} \cdot 5\]

\[y' = \frac{5}{5x-3}\]

Теперь подставим \(x = 1\), чтобы найти значение производной в точке \(x = 1\):

\[y'(1) = \frac{5}{5\cdot 1 - 3} = \frac{5}{2}\]

Таким образом, решения задач:

1) \(y'(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sqrt{2}}{36}\)

2) \(y'(1) = \frac{5}{2}\)