Question

Знайти розв’язок диференційного рівняння, що задовольняє задану початкову умову. y’+y/x=sin x y(Pi)=1/Pi

Answer 1

y' + y/x = sin x  |*x ≠ 0

y'x + y = x * sin x

(y * x)' = x * sin x

yx = ∫xsinx dx

Замена u = x; du=dx; dv = sinx dx; v = -cos x (интегрирование по частям)

yx = -xcosx + ∫cosx dx

yx = -xcosx + sin x + C

y = -cos x + (sin x + C)/x - общее решение заданного уравнения

Осталось подставить начальные условия и найти частное решение

1/π = 1 + C/π

1 = π + C

C = 1 - π

Искомое решение ДУ: y = -cos x + (sin x + 1 - π)/x

Answer 2

Щоб знайти розв'язок диференційного рівняння з заданою початковою умовою, спочатку нам потрібно розв'язати саме рівняння, а потім підставити початкову умову для знаходження конкретного розв'язку.

Диференційне рівняння, яке ми маємо, має вигляд y' + (y / x) = sin(x) + y.

Розв'язання диференційного рівняння

Для початку, давайте перепишемо рівняння у вигляді, зручному для розв'язання:

y' = sin(x) + y - (y/x).

Тепер ми можемо застосувати метод інтегрування за частинами, щоб вирішити це рівняння. Застосуємо цей метод до другого доданку на правій стороні рівняння:

∫(y/x) dx = y * ln(x).

Тепер ми можемо переписати наше рівняння як:

y' = sin(x) + y - y * ln(x).

Тепер розділимо змінні, розмістивши всі вирази з y разом і всі вирази з x разом:

(y - y * ln(x)) dy = (sin(x) + y) dx.

Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:

∫(y - y * ln(x)) dy = ∫(sin(x) + y) dx.

Інтегрування першої частини

Щоб проінтегрувати першу частину, застосуємо правило інтегрування для поліномів:

∫(y - y * ln(x)) dy = (1/2) * y^2 - (1/2) * y^2 * ln(x) + C1,

де C1 - це константа інтегрування.

Інтегрування другої частини

Щоб проінтегрувати другу частину, застосуємо правило інтегрування для тригонометричних функцій:

∫(sin(x) + y) dx = -cos(x) + y * x + C2,

де C2 - це константа інтегрування.

Загальний розв'язок

Тепер, коли ми проінтегрували обидві частини рівняння, ми можемо записати загальний розв'язок диференційного рівняння:

(1/2) * y^2 - (1/2) * y^2 * ln(x) = -cos(x) + y * x + C,

де C = C1 + C2 - загальна константа інтегрування.

Це є загальний розв'язок диференційного рівняння без урахування початкової умови.

Задовольнення початкової умови

Тепер, щоб знайти конкретний розв'язок, який задовольняє початкову умову y(Pi) = 1/Pi, ми підставимо ці значення у загальний розв'язок і розв'яжемо рівняння:

(1/2) * (1/Pi)^2 - (1/2) * (1/Pi)^2 * ln(Pi) = -cos(Pi) + (1/Pi) * Pi + C.

Спростимо це рівняння:

(1/2) * (1/Pi^2) - (1/2) * (1/Pi^2) * ln(Pi) = -cos(Pi) + 1 + C.

Тепер знаходимо значення C:

C = (1/2) * (1/Pi^2) - (1/2) * (1/Pi^2) * ln(Pi) - cos(Pi) + 1.

Отже, ми знайшли значення константи C.

Остаточний розв'язок

Отже, остаточний розв'язок диференційного рівняння з заданою початковою умовою y(Pi) = 1/Pi є:

(1/2) * y^2 - (1/2) * y^2 * ln(x) = -cos(x) + y * x + (1/2) * (1/Pi^2) - (1/2) * (1/Pi^2) * ln(Pi) - cos(Pi) + 1.

Будь ласка, зауважте, що це лише загальний розв'язок, і він може бути подальше спрощений або переписаний у більш зручній формі залежно від конкретних вимог задачі.