Question

Помогите пожалуйста вычислить производные :x+y=arctg(xy) +7

Answer 1

Ответ:

Производная вычислена:

$\displaystyle y'=\frac{y-1-x^2y^2}{1+x^2y^2-x}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить производную.

$\displaystyle x+y=arctg(xy)+7$

Это неявная функция. Будем рассматривать у как сложную функцию от х.

Продифференцируем обе части по х, получим уравнение первой степени относительно y'. Из этого уравнения легко найдем у'.

Воспользуемся формулами:

$\boxed {(c)'=0};\;\;\;\;\;\boxed {(x)'=1}$

А так же производной сложной функции:

$\displaystyle \boxed { (arctg\;u)'=\frac{u'}{1+u^2}}$

Вычислим производную:

$\displaystyle 1+y'=\frac{(xy)'}{1+x^2y^2}$

В правой части в числителе производная произведения. Найдем ее по формуле:

$\displaystyle \boxed { (uv)'=u'v+uv'}$

Получим:

$\displaystyle 1+y'=\frac{1*y+x*y'}{1+x^2y^2}$

Теперь решим это уравнение относительно y':

$\displaystyle (1+y')(1+x^2y^2)=y+xy'\\\\1+x^2y^2+ \underline{y'}+ \underline{y'x^2y^2}=y+ \underline{xy'}\\\\y'+y'x^2y^2-xy'=y-1-x^2y^2\\\\y'(1+x^2y^2-x)=y-1-x^2y^2\\\\y'=\frac{y-1-x^2y^2}{1+x^2y^2-x}$

Производная вычислена.

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам вычислить производные. Для начала, давайте приведем уравнение x + y = arctg(xy) к виду, удобному для дифференцирования.

Выражение arctg(xy) можно записать как arctan(xy), где arctan - обратная функция тангенса. Затем мы можем применить функцию тангенса к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от обратной функции:

tan(x + y) = xy

Теперь мы можем приступить к дифференцированию. Дифференцируем обе стороны уравнения по переменной x:

(d/dx) tan(x + y) = (d/dx) xy

Для левой части уравнения мы можем использовать формулу дифференцирования тангенса:

sec^2(x + y) * (d/dx)(x + y) = y

Для правой части уравнения мы можем использовать правило произведения функций:

x * (d/dx)y + y * (d/dx)x = xy

Теперь нам нужно выразить производные (d/dx)(x + y) и (d/dx)y в терминах известных переменных:

(d/dx)(x + y) = 1 + (d/dx)y (d/dx)y = -x / (1 + y)

Подставим эти значения в наше уравнение:

sec^2(x + y) * (1 + (d/dx)y) = y sec^2(x + y) * (1 - x / (1 + y)) = y

Теперь мы имеем уравнение, содержащее только известные переменные x и y. Мы можем решить это уравнение численно или с помощью методов символьной математики, чтобы найти значения x и y, удовлетворяющие этому уравнению.