Question

Помогите пожалуйста, 10-11 класс. Найти производные 1. (tg( 3 √x))′ = 2. (arctg(sin(x)))′ = 3. (arccos(log5 (x)))′ = 4. (tg(x)·sin(arctg(x)))′ = 5. (cos(arccos(√x)))′ =

Answer 1

Ответы на фотографии

Answer 2

1. Начнем с функции f(x) = tg(3√x). Применим цепное правило дифференцирования:

f'(x) = (tg(3√x))' = sec^2(3√x) · (3√x)' = 3·sec^2(3√x)·√x

Таким образом, (tg(3√x))′ = 3·sec^2(3√x)·√x.

2. Теперь рассмотрим функцию g(x) = arctg(sin(x)). Снова используем цепное правило:

g'(x) = (arctg(sin(x)))' = 1 / (1 + (sin(x))^2) · (sin(x))'

(sin(x))' = cos(x), поэтому

g'(x) = cos(x) / (1 + (sin(x))^2)

Итак, (arctg(sin(x)))′ = cos(x) / (1 + (sin(x))^2).

3. Рассмотрим функцию h(x) = arccos(log5(x)). Используем формулу для производной обратной функции:

h'(x) = 1 / (arccos'(log5(x)))

Найдем arccos'(y):

(arccos(y))' = -1 / sqrt(1 - y^2)

Поэтому

h'(x) = -1 / (sqrt(1 - (log5(x))^2) · (log5(x))')

(log5(x))' = 1 / (x · ln(5)), поэтому

h'(x) = -1 / (sqrt(1 - (log5(x))^2) · (x · ln(5)))

Таким образом, (arccos(log5(x)))′ = -1 / (sqrt(1 - (log5(x))^2) · (x · ln(5))).

4. Рассмотрим функцию p(x) = tg(x)·sin(arctg(x)). Сначала найдем производную синуса обратной тангенсной функции:

(sin(arctg(x)))' = cos(arctg(x)) · (arctg(x))'

(arctg(x))' = 1 / (1 + x^2), а cos(arctg(x)) = 1 / sqrt(1 + x^2), поэтому

(sin(arctg(x)))' = 1 / (sqrt(1 + x^2))

Теперь можем применить правило произведения:

p'(x) = (tg(x)·sin(arctg(x)))' = tg'(x)·sin(arctg(x)) + tg(x)·(sin(arctg(x)))'

tg'(x) = sec^2(x), а (sin(arctg(x)))' = 1 / (sqrt(1 + x^2)), поэтому

p'(x) = sec^2(x)·sin(arctg(x)) + tg(x)·(1 / (sqrt(1 + x^2)))

Таким образом, (tg(x)·sin(arctg(x)))′ = sec^2(x)·sin(arctg(x)) + tg(x)·(1 / (sqrt(1 + x^2))).

5. Расс