Question

Решить задачу коши для дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 1)y'-1=e^x ; x=0; y=1 2)y'+8x^3y=0; x=0; y=5

Answer 1

Ответ:

1)$y=e^x+x$

2)$></p> <p><strong>Пошаговое объяснение:</strong></p> <p><strong>1)</strong></p> <p><img src=$

$dy=(e^x+1)dx$

Интегрируем правую и левую часть

$\int dy=\int(e^x+1)dx\\y=e^x+x+C$

Решаем задачу Коши:x=0; y=1  

$1=e^0+0+C\\1=1+C\\C=0$

ОТВЕТ

$y=e^x+x$

2)

$y'+8x^3y=0$

(А не $y'+8x^{3y}=0$ так как это не дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися  переменными)

$></p> <p>Интегрируем правую и левую часть</p> <p><img src=$

ОТВЕТ

$></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Для решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, необходимо выполнить следующие шаги:

# Шаг 1: Разделение переменных

Первым шагом является разделение переменных. Для этого нужно выделить все слагаемые, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все слагаемые, содержащие x, на другую сторону.

Пример 1: У нас дано уравнение: y' - 1 = e^x

Выделим слагаемые, содержащие y, на левую сторону, а слагаемые, содержащие x, на правую сторону: y' = e^x + 1

Пример 2: У нас дано уравнение: y' + 8x^3y = 0

Выделим слагаемые, содержащие y, на левую сторону, а слагаемые, содержащие x, на правую сторону: y' = -8x^3y

# Шаг 2: Интегрирование

После разделения переменных нужно проинтегрировать обе стороны уравнения:

Пример 1: Интегрируем обе стороны уравнения y' = e^x + 1 по переменной y: ∫dy = ∫(e^x + 1)dx

Пример 2: Интегрируем обе стороны уравнения y' = -8x^3y по переменной y: ∫dy = ∫(-8x^3y)dx

# Шаг 3: Вычисление постоянной интегрирования

После интегрирования обеих сторон уравнения, в общем случае получим уравнение вида y = F(x) + C, где F(x) - это результат интегрирования, а C - постоянная интегрирования. Значение постоянной интегрирования определяется начальным условием задачи Коши.

Пример 1: Интегрируем обе стороны уравнения y' = e^x + 1: ∫dy = ∫(e^x + 1)dx y = ∫e^xdx + ∫dx + C y = e^x + x + C

Теперь подставим начальные условия x = 0, y = 1: 1 = e^0 + 0 + C 1 = 1 + C C = 0

Итак, решение задачи Коши для данного уравнения будет выглядеть следующим образом: y = e^x + x

Пример 2: Интегрируем обе стороны уравнения y' = -8x^3y: ∫dy = ∫(-8x^3y)dx y = ∫(-8x^3y)dx

Для решения данного уравнения требуется использовать методы численного интегрирования или решение в виде степенного ряда. Однако, без дополнительных условий или точных значений, невозможно получить конкретное решение.

Выберите одну из двух опций: либо предоставьте дополнительные условия, либо укажите метод решения, который вы предпочитаете использовать, и я могу помочь вам с этим.