Question

Найти частное решение для дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными: (x+3)dy=(y+2)dx если y(2)=3

Answer 1

если y=3 при x=2
Делим обе части уравнения на (х + 2)(у -3) получим
dy/(y -3) = - dx/(x + 2)
Интегрируем обе части
Получаем
ln|y -3| = -  ln|x + 2| + ln |C|
ln|y - 3| = - lnC|x + 2|
Теперь логарифмы и модули можно убрать с обеих частей:
y - 3 = - С(x +2)
y= - C(x+2)+3

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы должны разделить переменные и проинтегрировать обе стороны уравнения.

Исходное уравнение: (x+3)dy = (y+2)dx

Разделим переменные, переместив dy на одну сторону и dx на другую:

dy / (y+2) = dx / (x+3)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интеграл от левой стороны будет зависеть от y, а интеграл от правой стороны будет зависеть от x:

∫(1 / (y+2)) dy = ∫(1 / (x+3)) dx

Интегрируем обе стороны:

ln|y+2| = ln|x+3| + C

где С - постоянная интегрирования.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от натурального логарифма:

|y+2| = |x+3| * e^C

Так как e^C - положительная константа, мы можем убрать модули:

y+2 = (x+3) * e^C

Теперь найдем значение константы C, используя начальное условие y(2) = 3. Подставим x = 2 и y = 3 в уравнение:

3 + 2 = (2 + 3) * e^C

5 = 5 * e^C

e^C = 1

Так как e^C = 1, это означает, что С = 0.

Теперь подставим С = 0 в уравнение:

y+2 = (x+3) * e^0

y+2 = x+3

y = x+1

Таким образом, частное решение для данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными будет y = x+1.