Question

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(9,5,5) В(-3,7,1) С(5,7,8) Д(6,9,2) и его высоту, опущенную из вершины Д на грань АВС.

Answer 1

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(9,5,5) В(-3,7,1) С(5,7,8) Д(6,9,2) и его высоту, опущенную из вершины Д на грань АВС.

Даны координаты пирамиды: A(9,5,5), B(-3,7,1), C(5,7,8), D(6,9,2)

Находим координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора AB

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = -3-9; Y = 7-5; Z = 1-5

AB(-12;2;-4)

AC(-4;2;3)

AD(-3;4;-3).

Найдем площадь грани АВС с учётом геометрического смысла векторного произведения:

 

Векторное произведение:

  i        j       k

-12      2     -4

-4       2       3  =

=i(2·3-2·(-4)) - j((-12)·3-(-4)·(-4)) + k((-12)·2-(-4)·2) = 14i + 52j - 16k.

Получен нормальный вектор плоскости АВС, равный (14; 52; -16).

Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения.

S = (1/2)√(14² + 52² + 16²) = (1/2)√(196 + 2704 + 256) = (1/2)√3156 = √789 ≈ 28,0891.

Теперь находим смешанное произведение векторов (АВхАС)*AD.

14     52     -16

(-3     4        -3

-42 + 208 + 48 = 214.

Объём пирамиды равен (1/3) модуля векторного произведения(АВхАС)*AD.

V = (1/6)*214 = 214/6 = 107/3 куб. ед.

Высоту H из точки D на плоскость АВС найдём по формуле:

H = 3V/S(ABC) = 3*(107/3)/(√789) = 3,8093.

Answer 2

Для вычисления объема тетраэдра с заданными вершинами А(9,5,5), В(-3,7,1), С(5,7,8) и Д(6,9,2), а также его высоты, опущенной из вершины Д на грань АВС, мы можем использовать формулы для нахождения объема и высоты тетраэдра.

Нахождение объема тетраэдра:

Объем тетраэдра можно найти с помощью формулы, которая основана на использовании векторного произведения:

V = (1/6) * |(AB · AC) · AD|

где AB, AC и AD - векторы, соединяющие вершины тетраэдра.

Давайте найдем векторы AB, AC и AD:

AB = B - A = (-3, 7, 1) - (9, 5, 5) = (-12, 2, -4) AC = C - A = (5, 7, 8) - (9, 5, 5) = (-4, 2, 3) AD = D - A = (6, 9, 2) - (9, 5, 5) = (-3, 4, -3)

Теперь мы можем вычислить векторное произведение AB · AC и найти его модуль:

AB · AC = (-12, 2, -4) · (-4, 2, 3) = (-12 * -4) + (2 * 2) + (-4 * 3) = 48 + 4 - 12 = 40

|AB · AC| = sqrt(40^2) = sqrt(1600) = 40

Теперь мы можем вычислить объем тетраэдра:

V = (1/6) * |AB · AC| * |AD| = (1/6) * 40 * sqrt((-3)^2 + 4^2 + (-3)^2) = (1/6) * 40 * sqrt(9 + 16 + 9) = (1/6) * 40 * sqrt(34) = (20/3) * sqrt(34)

Таким образом, объем тетраэдра равен (20/3) * sqrt(34).

Нахождение высоты тетраэдра:

Высота тетраэдра - это отрезок, опущенный из вершины Д на грань АВС. Для нахождения высоты, мы можем использовать формулу для расчета расстояния между точкой и плоскостью.

Высота тетраэдра, опущенная из вершины Д на грань АВС, равна расстоянию от точки Д до плоскости АВС. Для этого мы можем использовать формулу:

h = |(AD · n)| / |n|

где AD - вектор, соединяющий вершину Д с точкой на плоскости АВС, а n - нормальный вектор плоскости АВС.

Для начала, найдем нормальный вектор плоскости АВС. Для этого мы можем использовать векторное произведение AB и AC:

n = AB × AC

AB × AC = (-12, 2, -4) × (-4, 2, 3)

= ((2 * 3) - (-4 * 2), (-12 * 3) - (-4 * -4), (-12 * 2) - (2 * -4))

= (6 - (-8), (-36) - 16, (-24) - (-8))

= (14, -52, -16)

Теперь мы можем вычислить расстояние от точки Д до плоскости АВС:

h = |(AD · n)| / |n| = |(-3, 4, -3) · (14, -52, -16)| / |(14, -52, -16)|

= |((-3 * 14) + (4 * -52) + (-3 * -16))| / sqrt(14^2 + (-52)^2 + (-16)^2)

= |(-42 - 208 + 48)| / sqrt(196 + 2704 + 256)

= 34 / sqrt(3156)

= 34 / 56

= 17/28

Таким образом, высота тетраэдра, опущенная из вершины Д на грань АВС, равна 17/28.

Итак, объем тетраэдра составляет (20/3) * sqrt(34), а его высота, опущенная из вершины Д на грань АВС, равна 17/28.