Question

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(4,1,-1) А2(1,4,-1) А3(0,1,3) А4(-2,0,0) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А 1А 2А3.

Answer 1

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(4,1,-1) А2(1,4,-1) А3(0,1,3) А4(-2,0,0) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А 1А 2А3.

Находим векторы А1А2 и А1А3.

A1А2 = {А2x – A1x; А2y – A1y; А2z – A1z} = {1 - 4; 4 - 1; -1 – (-1)} = {-3; 3; 0},

A1А3 = {А3x – A1x; А3y – A1y; А3z – A1z} = {0 - 4; 1 - 1; 3 – (-1)} = {-4; 0; 4}.

Их векторное произведение равно:

 I        j         k|        I          j

-3       3        0|       -3        3

-4       0       4|       -4         0 = 12i + 0j + 0k + 12j – 0i + 12k = 12i + 12j + 12k.

Площадь треугольникаА1А2А3 равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.

S = (1/2) √(12² + 12² + 12²) = (1/2)√(144 + 144 + 144) = (1/2)√432 = 12√3/2 = 6√3.      

Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (A1А2xA1А3)*A1А4.

Произведение векторов (A1А2xA1А3) найдено выше и равно (12; 12; 12).

Находим вектор A1А4.

A1А4 = {А4x – A1x; А4y – A1y; А4z – A1z} = {-2 - 4; 0 - 1; 0 – (-1)} = {-6; -1; 1}.

(A1А2xA1А3) = 12    12     12

           A1А4 = -6     -1       1  

                       -72  + -12  +  12 = -72.

V = (1/6)*|-72| = 12.  

Длину высоты H, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

находим по формуле H = 3V/S(A1A2A3).

Подставим данные: H = 3*12/(6√3) = 2√3 ≈ 3,4641.

Answer 2

Для вычисления объема тетраэдра можно воспользоваться формулой Герона для площади треугольника и формулой для объема тетраэдра:

1. Найдем площадь треугольника А1А2А3. Для этого вычислим длины его сторон:

AB = || A2 - A1 || = sqrt[(1-4)^2 + (4-1)^2 + (-1-(-1))^2] = sqrt[18]
AC = || A3 - A1 || = sqrt[(0-4)^2 + (1-1)^2 + (3-(-1))^2] = sqrt[20]
BC = || A3 - A2 || = sqrt[(0-1)^2 + (1-4)^2 + (3-(-1))^2] = sqrt[27]

Полупериметр треугольника равен:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (sqrt[18] + sqrt[20] + sqrt[27]) / 2

Тогда площадь треугольника находится по формуле Герона:

S = sqrt[p(p-AB)(p-AC)(p-BC)]

2. Найдем высоту тетраэдра, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Для этого можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости:

h = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, проходящей через грани тетраэдра, D - коэффициент в уравнении плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через грани А1А2А3:

x - 4y + 3z - 13 = 0

Нормальный вектор плоскости равен (1, -4, 3), поэтому:

h = |1*(-2) + (-4)*0 + 3*0 + 13| / sqrt(1^2 + (-4)^2 + 3^2) = 13 / sqrt(26)

3. Наконец, объем тетраэдра:

V = S * h / 3

Подставляем найденные значения и получаем:

V = sqrt[p(p-AB)(p-AC)(p-BC)] * 13 / (3*sqrt(26))