Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Точки A(1;-1;1), B(-1;0;0), C(0;0;1) и D(0;-2;1) являются вершинами тетраэдра. 1. Поверить, что точки A,B,C, D не лежат в одной плоскости. 2. Найти: – объём тетраэдра; – длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D; – расстояние между скрещивающимися рёбрами AD и BC; – уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C .

Answer 1

1) Находим уравнение плоскости  ABC.
   АВС:  x + y - z + 1 = 0.
   Подставим в него координаты точки Д(0;-2;1):
    0 - 2 - 1 + 1 ≠ 0.   Доказано.

2)                                                              x     y     z
    Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}     -2     1    -1
    Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}    -1     1      0.
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
                 x     y      z
AB*AC =  1     1     -1.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}     -1    -1     0.
Объем пирамиды равен:
V = (1/6)*|(1*(-1)+1*(-1)+(-1)*0)| = (1/6)*|-1-1-0|.
V = (1/6) * 2 = 1/3 = 0,3333.

Answer 2

Проверка, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости

Для проверки того, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, можно использовать определитель матрицы. Если определитель равен нулю, это означает, что точки лежат в одной плоскости. В противном случае, точки не лежат в одной плоскости.

Давайте составим матрицу, где каждая строка будет представлять координаты одной из точек:

A = [1, -1, 1]
B = [-1, 0, 0]
C = [0, 0, 1]
D = [0, -2, 1]

Теперь составим матрицу из разностей координат точек B, C и D с координатами точки A:

M = [B - A, C - A, D - A]

Выполним вычисление определителя матрицы M:

det(M) = |B - A, C - A, D - A|

Если определитель det(M) не равен нулю, то точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Вычисление объёма тетраэдра

Для вычисления объема тетраэдра можно использовать формулу Герона:

V = (1/6) * |det(M)|

где det(M) - определитель матрицы M из предыдущего шага.

Вычисление длины высоты тетраэдра, опущенной из вершины D

Для вычисления длины высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, нам понадобится знать площадь грани, на которой опущена высота. Обозначим эту грань как ABC.

Площадь грани ABC можно вычислить как половину модуля векторного произведения векторов AB и AC:

S_ABC = 0.5 * |AB x AC|

где AB - вектор, соединяющий вершины A и B, и AC - вектор, соединяющий вершины A и C.

Затем, длина высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, может быть вычислена следующим образом:

h_D = (3 * V) / S_ABC

где V - объем тетраэдра, рассчитанный на предыдущем шаге.

Вычисление расстояния между скрещивающимися рёбрами AD и BC

Расстояние между скрещивающимися ребрами AD и BC можно найти с помощью формулы расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:

d = |(A - B) * (D - C)| / |(A - B) x (D - C)|

где |(A - B) * (D - C)| - модуль скалярного произведения векторов AB и DC, а |(A - B) x (D - C)| - модуль векторного произведения векторов AB и DC.

Вычисление уравнения плоскости, проходящей через точки A, B, C

Уравнение плоскости можно найти с помощью векторного произведения двух векторов, лежащих в этой плоскости. Возьмем векторы AB и AC. Тогда нормальный вектор плоскости будет равен:

n = AB x AC

где AB - вектор, соединяющий точки A и B, и AC - вектор, соединяющий точки A и C.

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C, нужно записать уравнение плоскости в виде:

Ax + By + Cz + D = 0

где (A, B, C) - координаты нормального вектора плоскости, и D - свободный член.

Подставим координаты точки A в уравнение плоскости и найдем D:

D = -Ax - By - Cz

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C, будет иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где (A, B, C) - координаты нормального вектора плоскости, а D - свободный член.