Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1;2;3) и перпендикулярной к плоскостям x-y+z-7=0 и Зх+2у-12z+5 = 0.

Answer 1

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1;2;3) и перпендикулярной к плоскостям x-y+z-7=0 и Зх+2у-12z+5 = 0.

Решение. В качестве нормального вектора п искомой плоскости можно

взять вектор, перпендикулярный нормальным векторам (1; -1; 1) и

(3; 2; -12) данных плоскостей, т. е. векторное произведение векторов n1 и n2:

n = n1х n2

I         j        к

1       -1        1

3       2      -12 = i(12-2) –j(-12-3) + k(2+3) = 10i + 15j + 5k.

Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1(1; 2; 3) перпендикулярно вектору n(10; 15; 5), получаем

10(х - 1) + 15(у - 2) + 5(z - 3) = 0 или 10х + 15у + 5z - 55 = 0.

Ответ: 10х + 15у + 5z - 55 = 0 или, сократив на 5

             2х + 3у + z - 11 = 0.

Answer 2

Уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1; 2; 3) и перпендикулярной к плоскостям x - y + z - 7 = 0 и 3x + 2y - 12z + 5 = 0 можно найти, используя векторное произведение нормалей данных плоскостей.

Нахождение нормалей плоскостей

Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости. Из данного уравнения можно определить нормальный вектор плоскости.

1) Плоскость x - y + z - 7 = 0:

Уравнение данной плоскости можно представить в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A = 1, B = -1, C = 1, D = -7. Таким образом, нормальный вектор для этой плоскости будет (1, -1, 1).

2) Плоскость 3x + 2y - 12z + 5 = 0:

Уравнение данной плоскости можно представить в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A = 3, B = 2, C = -12, D = 5. Таким образом, нормальный вектор для этой плоскости будет (3, 2, -12).

Нахождение уравнения искомой плоскости

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1; 2; 3) и перпендикулярной к данным плоскостям, нужно взять векторное произведение нормалей плоскостей x - y + z - 7 = 0 и 3x + 2y - 12z + 5 = 0.

Нормальный вектор для искомой плоскости можно найти как векторное произведение нормалей данных плоскостей:

n = (1, -1, 1) x (3, 2, -12)

Вычислим векторное произведение:

n = (1 * (-12) - 1 * 2, 1 * 3 - 1 * (-12), 1 * 2 - (-1) * 3) = (-14, 15, 5)

Таким образом, нормальный вектор для искомой плоскости будет (-14, 15, 5).

Используя найденную нормаль и координаты точки M1(1; 2; 3), можно записать уравнение искомой плоскости:

-14(x - 1) + 15(y - 2) + 5(z - 3) = 0

Раскрывая скобки:

-14x + 14 + 15y - 30 + 5z - 15 = 0

Упрощая:

-14x + 15y + 5z - 31 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1; 2; 3) и перпендикулярной к плоскостям x - y + z - 7 = 0 и 3x + 2y - 12z + 5 = 0, будет -14x + 15y + 5z - 31 = 0.