Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку K (-3;2;1) и перпендикулярной плоскостям 2x+3y-4z+4=0 и 3x-4y+2z+4=0

Answer 1

Плоскость перпендикулярна одновременно двум другим плоскостям, то ее нормальный вектор можно найти как векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей, тогда (решение ниже в приложении)

Уравнение плоскости
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Answer 2

Уравнение плоскости, проходящей через точку K(-3, 2, 1) и перпендикулярной плоскостям 2x + 3y - 4z + 4 = 0 и 3x - 4y + 2z + 4 = 0

Для написания уравнения плоскости, проходящей через заданную точку K и перпендикулярной двум другим плоскостям, мы можем использовать нормальный вектор этой плоскости. Нормальный вектор плоскости перпендикулярен ей и параллелен всем векторам, лежащим в плоскости.

Нормальный вектор плоскости, параллельной плоскости 2x + 3y - 4z + 4 = 0, можно найти, взяв коэффициенты при переменных x, y и z и обратив их знаки:

нормальный вектор плоскости 1: (-2, -3, 4)

Аналогично, для плоскости 3x - 4y + 2z + 4 = 0, нормальный вектор будет:

нормальный вектор плоскости 2: (-3, 4, -2)

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, перпендикулярной обоим плоскостям, мы можем использовать их векторное произведение. Векторное произведение двух векторов дает нам вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам.

Вычислим векторное произведение нормальных векторов плоскостей 1 и 2:

нормальный вектор плоскости 3 = нормальный вектор плоскости 1 x нормальный вектор плоскости 2

Выполняя вычисления, получаем:

нормальный вектор плоскости 3 = (-2, -3, 4) x (-3, 4, -2) = (8, -14, -5)

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости 3. Мы можем использовать его и точку K(-3, 2, 1), чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через точку K и перпендикулярной плоскостям 2x + 3y - 4z + 4 = 0 и 3x - 4y + 2z + 4 = 0.

Уравнение плоскости имеет следующий вид:

8x - 14y - 5z + D = 0

где D - неизвестная константа, которую мы должны определить.

Чтобы найти значение D, мы можем подставить координаты точки K(-3, 2, 1) в уравнение плоскости:

8*(-3) - 14*2 - 5*1 + D = 0

Решая это уравнение, получаем:

D = 39

Таким образом, окончательное уравнение плоскости, проходящей через точку K(-3, 2, 1) и перпендикулярной плоскостям 2x + 3y - 4z + 4 = 0 и 3x - 4y + 2z + 4 = 0, будет:

8x - 14y - 5z + 39 = 0