Question

В параллелограмме ABCD угол В= П/2, угол ACD=П/3. Найти sin угла CAD. СРОЧНО, ДАЮ 40 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

Синус угла CAD равен $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Пошаговое объяснение:

Требуется найти sin угла CAD.

Дано: ABCD - параллелограмм;

∠В = $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ ; ∠ACD = $\displaystyle \frac{\pi }{3}$;

Найти: sin∠CAD.

Решение:

1. Переведем данные значения углов в градусы:

$\displaystyle \frac{\pi }{2}=\frac{180^0}{2}=90^0;\\ \\ \frac{\pi }{3}=\frac{180^0}{3}=60^0$

2. Рассмотрим ABCD - параллелограмм.

∠В = 90° (условие)

• Противоположные углы параллелограмма равны.

⇒ ∠В = ∠D  = 90°

3. Рассмотрим ΔАСD - прямоугольный.

• Сумма острых уголов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠CAD = 90° - ∠ACD = 90° - 60° = 30°

По таблице найдем:

$\displaystyle sin\angle{CAD}=sin\;30^0 = \frac{1}{2}$

Синус угла CAD равен $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим свойством параллелограмма. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому угол BCD также равен π/2.

Также известно, что сумма углов треугольника равна π, поэтому угол CAD равен π - угол ACD - угол BCD.

Угол ACD = π/3, угол BCD = π/2.

Тогда угол CAD = π - π/3 - π/2 = (6π - 2π - 3π) / 6 = π/6.

Теперь мы можем вычислить синус угла CAD, зная, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.

В треугольнике CAD противолежащим катетом угла CAD является сторона AD, а гипотенузой является сторона AC.

Параллелограмм ABCD — это прямоугольник, поэтому сторона AD равна стороне BC, и сторона AC равна стороне AB.

Пусть длина стороны AB (или AC) равна a.

Тогда согласно теореме Пифагора, сторона BC равна √(AB² + AC²) = √(a² + a²) = √2a² = a√2.

Синус угла CAD = AD / AC = a / (a√2) = 1 / √2 = √2 / 2.

Таким образом, sin угла CAD равен √2 / 2.