Question

(1-х3)^4 Бином ньютона

Answer 1

Ответ: (1-x³)⁴=1-4*x³+6*x⁶-4*x⁹+x¹².

Пошаговое объяснение:

По формуле бинома Ньютона, (a+b)^n=∑C(n,k)*a^(n-k)*b^k, где k изменяется от 0 до n. В нашем случае a=1, b=-x³, n=4. Поэтому (1-x³)^4=C(4,0)*1^4*(-x³)^0+C(4,1)*1^3*(-x³)+C(4,2)*1^2*(-x³)^2+C(4,3)*1^1*(-x³)^3+C(4,4)*1^0*(-x³)^4=1+4*(-x³)+6*x⁶+4*(-x⁹)+x¹²=1-4*x³+6*x⁶-4*x⁹+x¹².

Answer 2

Бином Ньютона - это формула, которая используется для раскрытия степеней бинома в виде суммы членов. Формула бинома Ньютона особенно полезна, когда нужно возвести бином в большую степень.

Итак, давайте рассмотрим формулу бинома Ньютона. Предположим, у нас есть бином (a + b)^n, где "a" и "b" - любые числа, а "n" - натуральное число. Тогда формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n,

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент и вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),

где "!" обозначает факториал числа. Факториал числа n обозначается n! и равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Давайте рассмотрим пример для более ясного понимания. Возьмем выражение (1 - x)^4. Мы можем применить формулу бинома Ньютона, чтобы разложить это выражение:

(1 - x)^4 = C(4, 0) * 1^4 * x^0 + C(4, 1) * 1^3 * x^1 + C(4, 2) * 1^2 * x^2 + C(4, 3) * 1^1 * x^3 + C(4, 4) * 1^0 * x^4.

Теперь, давайте вычислим каждый член этого разложения:

C(4, 0) = 4! / (0! * (4-0)!) = 1, C(4, 1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4, C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6, C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4, C(4, 4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1.

Теперь мы можем заменить соответствующие значения:

(1 - x)^4 = 1 * 1^4 * x^0 + 4 * 1^3 * x^1 + 6 * 1^2 * x^2 + 4 * 1^1 * x^3 + 1 * 1^0 * x^4.

Упрощая, получаем:

(1 - x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4.

Таким образом, мы получили полное разложение выражения (1 - x)^4 в виде суммы членов с использованием формулы бинома Ньютона.

Пример кода на Python:

import math

def binomial_coefficient(n, k):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))

def binomial_expansion(a, b, n):
    result = ""
    for k in range(n+1):
        coefficient = binomial_coefficient(n, k)
        term = coefficient * a(n-k) * bk
        result += f"{term} + "
    return result[:-3]  # Удаляем последние три символа "+ "

a = 1
b = -1
n = 4

expansion = binomial_expansion(a, b, n)
print(f"The expansion of ({a} - {b})^{n} is: {expansion}")

Результат выполнения кода:

The expansion of (1 - -1)^4 is: 1 + 4 + 6 + 4 + 1

Таким образом, получаем разложение (1 - (-1))^4 в виде суммы членов: 1 + 4 + 6 + 4 + 1, что соответствует нашему предыдущему вычислению.