Question

Решите неравенство \sqrt(2x+4)<\sqrt(x^(2)+8x-3)

Answer 1

Ответ:

x ∈ (1; +∞).

Пошаговое объяснение:

Исходное неравенство имеет следующий вид:

$\sqrt{2x+4} < \sqrt{x^2+8x-3} .$ОДЗ неравенства. Подкоренные выражения $\geq 0.$ ⇒ $\displaystyle\left \{ {{2x+4\geq 0} \atop {x^2+8x-3\geq 0}} \right. .$ Решим каждое неравенство отдельно.

$2x+4\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq -4\Leftrightarrow x\geq -2\Leftrightarrow x\in[-2;+\infty).$

$x^2+8x-3\geq 0\Leftrightarrow D=b^2-4ac=64+12=76;~\sqrt{D} =2\sqrt{19} \Leftrightarrow x_{1;2} =\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} =\frac{-8\pm2\sqrt{19} }{2} =-4\pm\sqrt{19} \Rightarrow x\in(-\infty;-4-\sqrt{19} ]\cup[-4+\sqrt{19} ;+\infty).$

Окончательно, ОДЗ: $\bf x\in\bigg[-4+\sqrt{19} ;~+\infty\bigg).$

Возведем обе части неравенства в квадрат ⇒

$2x+4 < x^2+8x-3\Leftrightarrow 2x+4-x^2-8x+3 < 0\Leftrightarrow -6x+7-x^2 < 0\Leftrightarrow -x^2-6x+7 < 0\Leftrightarrow D=36+28=64=8^2~;~x_1=\displaystyle\frac{6-8}{-2} =1;~x_2=\frac{6+8}{-2}=-7\Rightarrow x\in(-\infty;-7)\cup(1;+\infty).$

Ответ с учетом ОДЗ: $\boxed{x\in(1;+\infty)} .$

Answer 2

Для решения данного неравенства, вначале возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней.

\sqrt{2x + 4} < \sqrt{x^2 + 8x - 3}

Возводим в квадрат:

2x + 4 < x^2 + 8x - 3

Теперь приведём подобные слагаемые и приведём уравнение к квадратичному виду:

0 < x^2 + 6x - 7

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для его решения нам нужно найти значения x, при которых выражение x^2 + 6x - 7 положительно.

Чтобы решить это квадратное неравенство, можно воспользоваться методом интервалов. Решим соответствующее уравнение x^2 + 6x - 7 = 0, чтобы найти его корни:

x^2 + 6x - 7 = 0

(x - 1)(x + 7) = 0

x = 1 или x = -7

Теперь построим интервалы и определим знак выражения x^2 + 6x - 7 в каждом интервале:

Интервал (-∞, -7): Проверим значение x = -8: (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 (положительное) Таким образом, на интервале (-∞, -7) выражение положительно.

Интервал (-7, 1): Проверим значение x = 0: 0^2 + 6(0) - 7 = -7 (отрицательное) Таким образом, на интервале (-7, 1) выражение отрицательно.

Интервал (1, +∞): Проверим значение x = 2: 2^2 + 6(2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 (положительное) Таким образом, на интервале (1, +∞) выражение положительно.

Исходя из этой информации, неравенство \sqrt{2x + 4} < \sqrt{x^2 + 8x - 3} выполняется на интервале (-∞, -7) объединённом с интервалом (1, +∞).

Итак, решение данного неравенства: x < -7 или x > 1.