Question

в треугольнике авс ав=вс .На медиане ве отмечена точка м ,а на сторонах ав и вс-точки р и к соответственно(точки р,м,к не лежат на одной прямой).Известно ,что угол вмр равен углу вмк .Докажите ,что :а)углы вмр и вкм равны;б)прямые рк и вм взаимно перпендекулярны

Answer 1

Треугольник АВС, АВ=ВС, уголА=уголС, ВЕ=медиана=высота=биссектриса, уголРВМ=уголКВМ, уголВМР=уголВМК, треугольник ВМР=треугольникВМК по двум углам и прилегающей стороне (ВМ-общая), значит уголВРМ=уголВКМ, ВР=ВК, треугольник РВК равнобедренный, ВН-биссектриса=высоте=медиане в треугольникеРВК, ВН перпендикулярно РК

Answer 2

Дан треугольник \(ABC\) с медианой \(AM\), где \(M\) - точка пересечения медиан. Также, на сторонах \(AB\) и \(BC\) данного треугольника отмечены точки \(P\) и \(K\) соответственно. Условие гласит, что угол \(\angle AMB\) равен углу \(\angle AMK\), и точки \(P\), \(M\), \(K\) не лежат на одной прямой.

Докажем следующие утверждения:

а) Углы \(\angle AMP\) и \(\angle CMK\) равны. б) Прямые \(PK\) и \(AM\) взаимно перпендикулярны.

Доказательство:

а) Из условия задачи у нас есть, что \(\angle AMB = \angle AMK\). Также, по теореме о медиане, мы знаем, что медиана \(AM\) делит угол \(\angle BAC\) пополам, то есть \(\angle CAM = \angle BAM\).

Теперь рассмотрим треугольник \(CAP\). В этом треугольнике у нас есть равенство углов \(\angle CAM = \angle BAM\), и у нас также есть угол \(\angle AMP\). Значит, углы \(\angle AMP\) и \(\angle CMK\) равны, так как они соответственные углы при равных углах \(\angle CAM\) и \(\angle BAM\).

б) Так как у нас есть равенство углов \(\angle AMB = \angle AMK\), то треугольники \(AMB\) и \(AMK\) подобны. Также, по теореме о медиане, у нас есть, что медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) в отношении 1:1. То есть, \(BP = PC\) и, следовательно, \(\angle BPC = \angle CPK\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BPC\). У нас есть равные углы \(\angle BPC\) и \(\angle CPK\), а также равные стороны \(BP\) и \(PC\). Таким образом, треугольники \(BPC\) и \(CPK\) равны (по стороне-углу-стороне).

Из равенства треугольников следует, что углы \(\angle BCP\) и \(\angle CKP\) равны. Так как \(\angle BCP\) и \(\angle CKP\) являются смежными и их сумма составляет 180 градусов (в сумме с углом \(\angle BPC\)), то \(\angle BCP\) и \(\angle CKP\) в сумме дают 180 градусов. Это означает, что прямые \(PK\) и \(BC\) взаимно перпендикулярны.

Таким образом, доказано, что углы \(\angle AMP\) и \(\angle CMK\) равны (пункт а) и прямые \(PK\) и \(AM\) взаимно перпендикулярны (пункт б).