Question

В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны корень из 2 .Найдите угол между плоскостями BCD1 и ABC1.

Answer 1

Для упрощения записей буду читать, что все ребра равны единице - все равно углы останутся прежними.

 

Введем ПСК с началом координат в центре нижнего основания (см. рисунок). Будем искать уравнения плоскостей. Уравнения имеют вид Xx+Yy+Zz=D.

Координаты точек:

$A(-\frac12,\frac{\sqrt3}2,0);\;C(\frac12,\frac{\sqrt3}2,0); \;B(1,0,0);\;O(0,0,1)$

Плоскости a1 принадлежат точки B, C, O; поэтому ее уравнение находится из системы

$\begin{cases} X=D\\ \frac12X+\frac{\sqrt3}2Y=D\\ Z=D \end{cases}$

Решив систему, получаем уравнение плоскости

$\sqrt3x+y+\sqrt3z=\sqrt3$

Аналогично, для второй плоскости

$x+\sqrt3y+z=1$

 

Отсюда получаем вектора нормалей для плоскостей:

$\vec{n}_1=(\sqrt3,1,\sqrt3)$

$\vec{n}_2=(1,\sqrt3,1)$

 

По формуле, можно найти косинус угла между плоскостями:

$\cos(\alpha_1,\alpha_2)=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{3\sqrt3}{7\cdot5}=\dfrac{3\sqrt3}{35}$

 

Искомый угол - арккосинус.

 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать знания о геометрии и свойствах правильных многогранников.

Понимание задачи

У нас есть правильная шестиугольная призма АВСDEFA1B1C1D1E1F1, в которой все ребра равны корню из 2. Нам нужно найти угол между плоскостями BCD1 и ABC1.

Решение

Для начала, давайте представим себе данную призму. Заметим, что плоскости BCD1 и ABC1 образуют угол между собой. Наша цель - найти этот угол.

Для этого, мы можем использовать свойство перпендикулярности. Для любого ребра призмы, плоскости, содержащие это ребро, перпендикулярны к этому ребру.

Теперь, обратимся к ребру BC. Оба конца этого ребра (то есть точка B и точка C) лежат в одной плоскости - плоскости ABC. Аналогично, оба конца ребра CD1 лежат в плоскости BCD1.

Таким образом, ребро BC перпендикулярно к плоскости BCD1, и ребро CD1 перпендикулярно к плоскости ABC1. Угол между этими двумя плоскостями будет равен углу между ребрами BC и CD1.

Так как все ребра призмы равны корню из 2, у нас есть правильный треугольник BCD1. Используя свойства правильного треугольника, мы можем найти угол между ребрами BC и CD1.

В правильном треугольнике все углы равны 60 градусов. Таким образом, угол между ребрами BC и CD1 будет равен 60 градусов.

Ответ: Угол между плоскостями BCD1 и ABC1 равен 60 градусов.