Question

Решите уравнение 4arcsinx+arccosx=0а) -0,5; б) 0,5 ; в) 1,2; г) другой ответ.Заранее большое спасибо.

Answer 1

$4arcsinx+arccosx=0\\\\Tozdestvo:\; arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}\\\\3arcsinx+(arcsinx+arccosx)=0\\\\3arcsinx+\frac{\pi}{2}=0\\\\arcsinx=-\frac{\pi}{6}\\\\x=sin(-\frac{\pi}{6})=-0,5$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

\[4 \arcsin(x) + \arccos(x) = 0\]

Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. \(\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}\)

Теперь у нас есть:

\[4 \arcsin(x) + \frac{\pi}{2} = 0\]

Выразим \(\arcsin(x)\):

\[4 \arcsin(x) = -\frac{\pi}{2}\]

\[\arcsin(x) = -\frac{\pi}{8}\]

Теперь найдем значение \(x\):

\[x = \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\]

Существует два угла, удовлетворяющих этому значению. Один из них будет в четвертой четверти, а другой - в третьей четверти.

\[x = \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) \quad \text{или} \quad x = \sin\left(\frac{9\pi}{8}\right)\]

Теперь проверим, какой из этих ответов подходит для исходного уравнения.

\[4 \arcsin\left(\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)\right) + \frac{\pi}{2} \neq 0\]

Таким образом, первый ответ не подходит.

\[4 \arcsin\left(\sin\left(\frac{9\pi}{8}\right)\right) + \frac{\pi}{2} = 0\]

Таким образом, \(x = \sin\left(\frac{9\pi}{8}\right)\) является корнем уравнения.

Итак, правильный ответ: \(\boxed{\text{г) } x = \sin\left(\frac{9\pi}{8}\right)}\).