Question

Точки, делящие сторону треугольника на n равных частей, соединены отрезками с противоположной вершиной. Докажите, что при этом треугольник также разделился на n равновеликих частей.

Answer 1

Похоже на теорему Фалеса.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, в котором точки D, E и F делят сторону BC на n равных частей, и соединены отрезками с противоположной вершиной A. То есть, AD, BE и CF - это отрезки, соединяющие вершину A с точками деления стороны BC на n частей.

Теперь давайте обозначим точку деления BC, соответствующую отрезку AD, как P1, точку деления BE - как P2, и точку деления CF - как P3. Таким образом, у нас есть n равных отрезков BP1 = P1C, CP2 = P2A, и AP3 = P3B.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и P1BC. В этих треугольниках:

1. AD равен BP1 (по построению). 2. BD равен P1C (по построению). 3. Угол ABD равен углу P1BC (по построению).

Согласно построению, у нас также есть BP1 = P1C. Следовательно, треугольники ABD и P1BC равны по сторонам и углам по стороне-углу-стороне (СУС).

Аналогичным образом, можно показать, что треугольники BCE и P2CA, а также треугольники CAF и P3AB равны.

Таким образом, у нас есть n равных треугольников, каждый из которых образован вершиной треугольника ABC и точкой деления противоположной стороны. Поскольку треугольники равны, то их площади также равны.

Таким образом, треугольник ABC разбит на n равновеликих частей.