Question

В треугольнике ABC угол B = 120 градусов, а длина AB= на 7корень из3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC.

Answer 1

Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .

В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше 
полупериметра треугольника. 
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Сделаем рисунок.

Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная. 

 

 

В любом треугольнике

расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.

( Доказательство этой теоремы   при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)

То-есть в данной задаче AЕ = p.
Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Это утверждение вытекает из того, что

по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.

 

Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,

он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. 
Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=7√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3
R:7√3 = 1/√3
R=7√3 ·1/√3=7

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства треугольников и окружностей. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Найдем длину сторон треугольника ABC

По условию, длина стороны AB равна полупериметру треугольника минус 7 корень из 3. Пусть полупериметр треугольника равен P, тогда:

AB = P - 7√3

Угол B равен 120 градусов, что означает, что угол A и угол C равны по 30 градусов каждый (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Шаг 2: Найдем радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC

Рассмотрим треугольник ABC. Построим высоту из вершины B на сторону AC и обозначим точку касания высоты с стороной AC как D. Также построим биссектрису угла B и обозначим точку касания биссектрисы с стороной AC как E.

Так как высота треугольника перпендикулярна к основанию, то BD является высотой треугольника. Также, так как биссектриса угла B делит угол B на два равных угла, то BE является биссектрисой треугольника.

Шаг 3: Решение задачи

Так как BD является высотой треугольника, то угол BDB' равен 90 градусов, где B' - это точка пересечения высоты с основанием AC. Также, так как BE является биссектрисой треугольника, то угол BBE' равен половине угла B, то есть 60 градусов.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник BDB', где угол BDB' равен 90 градусов, угол BBE' равен 60 градусов, и угол B'BD равен 30 градусов.

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников для решения задачи.

Обозначим радиус окружности как R. По свойству касательной, отрезки B'D и BE равны друг другу, поэтому:

BD = BE = R

Также, из прямоугольного треугольника BDB' мы можем найти отношение между BD, B'D и AB:

BD/AD = BD/BD' = AB/BD'

Так как BD = R и AB = P - 7√3, то:

R/AD = R/BD' = (P - 7√3)/BD'

Шаг 4: Найдем AD и BD'

Из прямоугольного треугольника BDB' мы можем использовать теорему Пифагора:

BD'^2 = BD^2 - B'D^2

Так как BD = R и B'D = AB = P - 7√3, то:

BD'^2 = R^2 - (P - 7√3)^2

Также, из треугольника ABD мы можем использовать теорему синусов:

AD/BD = sin(B) = sin(120) = √3/2

Так как BD = R, то:

AD/R = √3/2

Шаг 5: Найдем R

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (BD' и R):

R/AD = R/BD' = (P - 7√3)/BD'

BD'^2 = R^2 - (P - 7√3)^2

Сначала решим второе уравнение:

BD'^2 = R^2 - (P - 7√3)^2

BD'^2 = R^2 - (P^2 - 14P√3 + 147)

BD'^2 = R^2 - P^2 + 14P√3 - 147

Теперь подставим AD/R = √3/2 в первое уравнение:

R/(R√3/2) = (P - 7√3)/BD'

2R = (P - 7√3)/(√3/2) * BD'

2R = (2P - 14√3)/√3 * BD'

Теперь заменим BD' во втором уравнении на (2P - 14√3)/√3 * BD':

BD'^2 = R^2 - P^2 + 14P√3 - 147

((2P - 14√3)/√3 * BD')^2 = R^2 - P^2 + 14P√3 - 147

((2P - 14√3)/√3)^2 * BD'^2 = R^2 - P^2 + 14P√3 - 147

(4P^2 - 56P√3 + 588)/3 * BD'^2 = R^2 - P^2 + 14P√3 - 147

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (BD'^2 и R^2). Мы можем решить эти уравнения численно, используя значения P и AB, чтобы найти BD' и R.

После нахождения BD' и R, мы можем найти другие длины и углы треугольника ABC.