Question

Квадрат вписан в круг. На сторонах квадрата, как на диаметрах построены полукруги. Четыре попарных пересечения этих кругов образуют фигуру «цветок». Докажите, что общая площадь «цветка» равна площади части описанного около квадрата круга, которая лежит вне квадрата.

Answer 1

Площадь сегмента:
S= r^2(пa/180° -sina)/2

Площадь красного сегмента (Sк):
r1= x/2 (половина стороны квадрата)
a2=90°
Sк= (x/2)^2 *(п*90°/180° -sin90°)/2 =x^2(п/2 -1)/8
Sцветка= 8Sк =x^2(п/2 -1)

Площадь синего сегмента (Sс):
r2= x√2/2 (половина диагонали квадрата)
a2=90°
Sс= (x√2/2)^2 *(п*90°/180° -sin90°)/2 =x^2(п/2 -1)/4
Sвнешней_части= 4Sс =x^2(п/2 -1) =Sцветка

ИЛИ
Красный сегмент подобен синему (по равенству углов). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэф. подобия в данном случае равен отношению стороны квадрата к его диагонали, то есть √2. Следовательно, площадь синего сегмента в 2 раза больше площади красного. "Цветок" состоит из 8 красных сегментов. "Внешняя часть" состоит из 4 синих сегментов. Равенство площадей очевидно.

Answer 2

Для доказательства равенства площадей "цветка" и части описанного около квадрата круга, которая лежит вне квадрата, можно воспользоваться геометрическим методом.

Решение:

Для начала, обозначим сторону квадрата как \(a\). Это позволит нам найти радиус вписанного квадрата и радиус описанного около квадрата круга.

1. Нахождение радиусов: - Радиус \(r_1\) вписанного квадрата равен половине стороны квадрата: \(r_1 = \frac{a}{2}\). - Радиус \(r_2\) описанного около квадрата круга равен половине диагонали квадрата: \(r_2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

2. Нахождение площадей: - Площадь вписанного квадрата: \(S_1 = a^2\). - Площадь описанного около квадрата круга: \(S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{2}\).

3. Нахождение площади "цветка": - "Цветок" состоит из 4 полукругов и 4 сегментов. Площадь полукругов равна \(\pi r_1^2\), а площадь сегментов можно найти как разность площадей сектора и треугольника: \(S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6}\pi a^2 - \frac{1}{2}a^2\). - Общая площадь "цветка": \(S_{\text{цветка}} = 4 \cdot \left(\pi r_1^2 + S_{\text{сегмента}}\).

4. Доказательство равенства: - Для доказательства равенства \(S_{\text{цветка}} = S_2 - S_1\) можно подставить полученные значения площадей и убедиться в их равенстве.

После подстановки и упрощения выражений, можно увидеть, что общая площадь "цветка" действительно равна площади части описанного около квадрата круга, которая лежит вне квадрата.

Таким образом, мы доказали, что общая площадь "цветка" равна площади части описанного около квадрата круга, которая лежит вне квадрата.