Question

Помогите пожалуйста вычеслите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3(x+1), 6 + 3x - 3x^2

Answer 1

Находим пределы интегрирования. Для этого приравниваем функции:
3х + 3 = 6 + 3х - 3х². Получаем неполное квадратное уравнение:
-3х² + 3 = 0
х² = 1
х = +-1.
График второго уравнения - парабола ветвями вверх (коэффициент при х² отрицателен). На искомом отрезке он проходит выше прямой у = 3х + 3. Поэтому при интегрировании из второй функции вычитаем первую.
$\int\limits^1_ {-1}} {(6+3x-3x^2-3x-3)} \, dx = \int\limits^1_{-1} {(-3x^2+3)} \, dx=$
$-x^3+3x| _{-1 } ^{1} =-1+3-(1-3)=2+2=4.$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 3(x + 1) и y = 6 + 3x - 3x^2, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала мы должны найти точки пересечения этих двух кривых, чтобы определить границы интегрирования.

Нахождение точек пересечения

Для начала, приравняем уравнения к друг другу и решим полученное уравнение относительно x, чтобы найти точки пересечения:

3(x + 1) = 6 + 3x - 3x^2

Распишем это уравнение:

3x + 3 = 6 + 3x - 3x^2

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

0 = 6 - 3x^2

3x^2 = 6

x^2 = 2

x = ±√2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = √2 и x = -√2.

Вычисление площади

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы можем использовать следующий интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - это верхняя кривая, а g(x) - это нижняя кривая.

В нашем случае, верхняя кривая это y = 3(x + 1), а нижняя кривая это y = 6 + 3x - 3x^2.

Таким образом, мы можем записать интеграл для вычисления площади:

S = ∫[-√2, √2] (3(x + 1) - (6 + 3x - 3x^2)) dx.

Сначала упростим это уравнение:

S = ∫[-√2, √2] (3x + 3 - 6 - 3x + 3x^2) dx.

S = ∫[-√2, √2] (3x^2 - 3) dx.

Теперь вычислим интеграл:

S = [x^3 - 3x]∣[-√2, √2]

S = (√2^3 - 3√2) - ((-√2)^3 - 3(-√2))

S = (2√2 - 3√2) - (-2√2 - 3(-√2))

S = 2√2 - 3√2 + 2√2 + 3√2

S = 4√2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3(x + 1) и y = 6 + 3x - 3x^2, равна 4√2.