Question

Задача 1. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, если длина его стороны равна 6 см, а длина радиуса окружности, описанной вокруг этого многоугольника, равна 3√3 см. Задача 2. Правильный четырёхугольник вписан в окружность, а правильный шестиугольник описан вокруг этой окружности. Найдите отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника.

Answer 1

Номер 1.
длина стороны а= 15 см радиус описанной окружности R=5√3сторона (а) и ДВА радиуса (R) образуют равнобедренный треугольник - где основание (а) и боковые стороны (R)радиус вписанной окружности ( r ) в этом треугольнике  - это высота тогда по теореме Пифагора  r^2 = R^2 - (a/2)^2r = √ ((5√3)^2 - (15/2)^2 ) =5√3/2
Ответ: 5√3/2

Номер 2.

Обозначим стороны квадрата и шестиугольника а4 и а6 соответственно, а радиус окружности R.
Тогда 
a4=2R*sin(180/4)=2R*sin45= sqrt(2)*R
a6=2R*tg(180/6)= 2R*tg30= sqrt(3)*2*R/3a6/a4= sqrt(6)/3 

Answer 2

Задача 1: Нахождение длины радиуса вписанной окружности

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство равнобедренности правильного многоугольника.

Шаг 1: Разделим равнобедренный многоугольник на два равнобедренных треугольника, проведя биссектрисы каждого угла многоугольника.

Шаг 2: Заметим, что каждый из треугольников, полученных в результате разделения, является равнобедренным. В таком треугольнике, биссектриса угла делит основание пополам.

Шаг 3: Обозначим длину стороны многоугольника как "a" и длину радиуса окружности, вписанной в многоугольник, как "r". Также, обозначим половину основания треугольника как "b".

Шаг 4: Используя свойство равнобедренного треугольника, можем записать следующее соотношение:

a = 2b Шаг 5: Рассмотрим треугольник, вписанный в многоугольник. У него сторона "a" является основанием, а "r" - высотой. Таким образом, площадь треугольника можно выразить двумя способами:

S = (1/2) * a * r S = (1/2) * b * (2r) Шаг 6: Приравняем два выражения для площади треугольника и решим полученное уравнение относительно "r":

(1/2) * a * r = (1/2) * b * (2r) a * r = b * 2r a = 2b 2b * r = b * 2r r = (b * 2r) / (2b) r = r Шаг 7: Таким образом, получаем, что радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен длине основания треугольника, то есть "b".

В данной задаче, длина стороны многоугольника равна 6 см. Так как многоугольник равнобедренный, то половина основания треугольника равна половине длины стороны многоугольника, то есть 3 см. Следовательно, длина радиуса окружности, вписанной в многоугольник, также равна 3 см.

Задача 2: Нахождение отношения сторон четырёхугольника и шестиугольника

Для решения данной задачи, воспользуемся свойством правильного многоугольника, что все его стороны равны, и свойством описанной окружности.

Шаг 1: Обозначим длину стороны четырёхугольника как "a" и длину стороны шестиугольника как "b".

Шаг 2: Используя свойство правильного многоугольника, можем записать следующее соотношение:

a = b Шаг 3: Рассмотрим треугольник, вписанный в шестиугольник. У него сторона "b" является основанием, а радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника, является высотой. Таким образом, площадь треугольника можно выразить двумя способами:

S = (1/2) * b * r S = (1/2) * (a/2) * (2r) Шаг 4: Приравняем два выражения для площади треугольника и решим полученное уравнение относительно "r":

(1/2) * b * r = (1/2) * (a/2) * (2r) b * r = (a/2) * r b = a/2 Шаг 5: Таким образом, получаем, что отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника равно 1:2.

В данной задаче, мы получили, что длина стороны четырёхугольника равна длине стороны шестиугольника. Следовательно, отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника равно 1:2.