Question

Даны треугольник ABC и окружность, касающаяся стороны AB в точке C' и продолжений сторон AC и BC соответственно в точках B' и A'. Доказать, что CB'=CA' равны полупериметру треугольника. БЕЗ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ!!! Так, чтобы в детском саду было понятно! Это обязательное требование (при желании можно в конце добавить доказательство с иксом, но можно и не добавлять)

Answer 1

Обозначим центр данной вневписанной окружности точкой О. Проведём радиусы в точки касания (в точки B' и A').
Рассмотрим ΔOB'A'.
OB' = OA' = R ⇒  ΔOB'A' - равнобедренный и тогда ∠OB'A' = ∠OA'B'.\
Т.к. радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то ∠CB'O = CA'O.
∠CB'A' = 90° - ∠OB'A' и ∠CA'B' = 90° - ∠OA'B'.
Тогда ∠CA'B' = ∠CB'A' ⇒ ΔCB'A' - равнобедренный и CB' = CA'.
(можно сразу сказать, что CB' = CA' - как отрезки касательных, проведённые из одной точки).
Теперь осталось доказать, что CB' = p (или CA' = p), где p - полупериметр.
B'A = AC', C'B = BA' - как отрезки касательных, проведённые из одной точки.
Тогда AC = CB' - AC'
CB = A'C - BC' 
$p = 0,5(AC + CB + AC' + C'B) \\ p = 0,5(CB' - AC' + A'C - BC' + AC' + CB') \\ p = 0,5 \cdot(A'C+ CB') \\ p = 0,5 \cdot 2A'C \\ p = A'C$

Answer 2

Решение смотри в файле.

Answer 3

Дан треугольник ABC и окружность, касающаяся стороны AB в точке C' и продолжений сторон AC и BC соответственно в точках B' и A'.

Для начала, обозначим полупериметр треугольника ABC как p.

Из условия задачи, окружность касается стороны AB в точке C'. Это означает, что отрезок C'B' является высотой треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Также, поскольку окружность касается продолжений сторон AC и BC в точках B' и A', соответственно, отрезки AC' и BC' являются касательными к окружности.

Теперь рассмотрим треугольник C'AB'. Из свойств касательных к окружности, угол C'AB' равен углу CAB (они оба опираются на дугу AB окружности).

Аналогично, угол C'BA' равен углу CBA.

Таким образом, треугольники C'AB' и ABC подобны, поскольку у них соответственные углы равны.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон треугольников равно отношению длин соответственных сторон.

То есть, CB'/CB = CA'/CA и CB'/CA' = CB/CA.

Так как отношение длин сторон треугольников равно,