Question

Через вершину конуса проведено сечение пересекающее основание по хорде равно 4дм и отсекающей дугу 90градусов. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов.

Answer 1

Хорда АВ=а, угол АОВ=90=дугеАВ, АО=ВО=радиус, АВ вквадрате=2*АО в квадрате, АО = а/корень2, треугольникАКВ (К-вершина конуса), АК=ВК - образующие, уголАКВ=60, уголКАВ=уголКВА=(180-60)/2=60, треугольник АКВ равносторонний, все углы 60, АВ=ВК=АК=а, треугольникАОК прямоугольный, высота КО=корень(АК в квадрате-АО в квадрате)=корень(а в квадрате-а в квадрате/2)=а=корень2, Площадь боковой поверхности = 2*пи*радиус*образующая =2*пи*(а/корень2)*а=2*пи*а в квадрате/корень2

Answer 2

Для решения задачи найдем радиус основания конуса и общую длину окружности основания.

1. Пусть \( R \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса.

2. Так как сечение пересекает основание по хорде, равной \( 4d \), где \( d \) - радиус основания, то длина этой хорды равна \( 2R = 4d \).

Из этого следует, что \( R = 2d \).

3. Также известно, что отсекаемая дуга равна 90 градусов. Так как угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов, то угол от вершины конуса до точки пересечения с хордой равен \( 90 - 60 = 30 \) градусов.

4. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника с углом 30 градусов:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{R} \]

Заменяем \( R \) на \( 2d \):

\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{2d} \]

Решим уравнение относительно \( h \):

\[ h = 2d \tan(30^\circ) \]

5. Теперь найдем длину окружности основания конуса:

\[ C = 2\pi R \]

Подставим значение \( R = 2d \):

\[ C = 2\pi \cdot 2d = 4\pi d \]

6. Теперь мы можем найти боковую поверхность конуса:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot l \]

где \( l \) - образующая конуса.

В нашем случае, образующую можно найти с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где один катет равен \( h \), а другой \( R \):

\[ l = \sqrt{h^2 + R^2} \]

Подставим значения \( h \) и \( R \):

\[ l = \sqrt{(2d \tan(30^\circ))^2 + (2d)^2} \]

Теперь подставим \( l \) в формулу для боковой поверхности и найдем ее:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi d \cdot \sqrt{(2d \tan(30^\circ))^2 + (2d)^2} \]

Это и есть искомая площадь боковой поверхности конуса.