Question

найти обьём тела,которое получено при вращении квадрата со стороной 7см вокруг прямой вокруг прямой,соединяющей середины противоположных сторон

Answer 1

то есть это цилиндр 

v=d^2/4 pi*H=7^2/4*pi*7=7^3/4*pi =343/4pi 

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного в результате вращения квадрата вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод основывается на том, что мы можем представить тело как совокупность бесконечно тонких цилиндрических оболочек и затем сложить их объемы.

Для начала рассмотрим квадрат со стороной 7 см. Прямая, соединяющая середины противоположных сторон, будет проходить через центр квадрата и делить его на две равные половины. Длина этой прямой будет равна диагонали квадрата.

Диагональ квадрата можно найти с использованием теоремы Пифагора:

\[ \text{Диагональ} = \sqrt{(\text{Сторона})^2 + (\text{Сторона})^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} \text{ см}. \]

Теперь, когда у нас есть длина диагонали, мы можем использовать ее в качестве радиуса при вращении квадрата вокруг прямой. Объем каждой цилиндрической оболочки будет равен площади круга, умноженной на высоту цилиндра.

Площадь круга:

\[ \text{Площадь} = \pi r^2, \]

где \( r \) - радиус.

Объем цилиндра:

\[ \text{Объем цилиндра} = \pi r^2 h, \]

где \( h \) - высота цилиндра.

Теперь мы можем проинтегрировать объем цилиндрических оболочек от 0 до длины диагонали квадрата:

\[ \text{Общий объем} = \int_{0}^{\sqrt{98}} \pi r^2 \, dh. \]

В данном случае \( r \) будет равен половине длины диагонали, то есть \( \frac{\sqrt{98}}{2} \).

Теперь вычислим интеграл:

\[ \text{Общий объем} = \pi \int_{0}^{\sqrt{98}} \left(\frac{\sqrt{98}}{2}\right)^2 \, dh. \]

Выполним вычисления:

\[ \text{Общий объем} = \pi \int_{0}^{\sqrt{98}} \frac{98}{4} \, dh = \pi \cdot \frac{98}{4} \cdot \sqrt{98}. \]

Упростим это выражение:

\[ \text{Общий объем} = \frac{98}{4} \pi \sqrt{98} = \frac{98 \sqrt{98}}{4} \pi. \]

Таким образом, объем тела, полученного вращением квадрата вокруг прямой, соединяющей середины противоположных сторон, равен \( \frac{98 \sqrt{98}}{4} \pi \) кубических сантиметров.