Question

Сторона основания правильной шестиугольной призмы 6 см, а большая диагональ призмы образует с основанием угол, равный 30 градусам. Найдите полную поверхность призмы.

Answer 1

большая диагональ призмы имеет проекцию большей диагонали основания которая равна 2R = 2A (R = a, только в правильной шестиугольнике радиус описаннкой окружности равен стороне шестиугольника) поэтому проекция равна 2*6 = 12 см

диагональ образует острый угол в 30 градусов с основанием..т.е из прямоугольного треугольника найдем катет "х", так как он лежит напротив угла он равен половине гипотенузы или "диагонали" поэтоу гипотенуза равна "2х"..по теореме Пифагора найдем "х": 4х² = х² + 144 , x = 4√3  это и есть высота призмы.

S бок = 6*(6 * 4√3)  так как шесть граней и они равны. = 144√3

S осн = (найдем 1/6 часть площади , т.е площадь одного правильного треугольника со стороной 6, по формуле: a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3 так как это 1/6 часть, то умножим на 6 , получим всю площадь: 6 * 9 √3 = 54√3

S полн = 2*Sосн + Sбок = 2*54√3 + 144√3 = 252√3

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

- \( a \) - длина стороны основания правильной шестиугольной призмы (в нашем случае, \( a = 6 \) см); - \( d \) - длина большей диагонали основания призмы.

Из условия известно, что большая диагональ призмы образует угол в 30 градусов с основанием.

Теперь, у нас есть прямоугольный треугольник, где сторона \( a \) - половина длины большей диагонали, так как угол между диагональю и стороной основания равен 30 градусам.

Мы можем использовать тригонометрический тангенс для нахождения длины большей диагонали \( d \):

\[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\frac{d}{2}}{\frac{a}{2}} \]

Решив это уравнение, мы найдем \( d \):

\[ d = a \cdot \tan(30^\circ) \]

Теперь, чтобы найти полную поверхность призмы, нужно учесть боковую поверхность и два основания. Формула для полной поверхности \( S \) призмы:

\[ S = 2 \cdot S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} \]

Для правильной шестиугольной призмы боковая поверхность состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Площадь одного треугольника можно найти, используя формулу:

\[ S_{\text{боковая}} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота треугольника} \]

Высота треугольника равна \( d \), а основание равно \( a \).

Таким образом, полная поверхность призмы:

\[ S = 2 \cdot S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} \]

Подставляем значения и решаем уравнения.