Question

Даны точки А(0;-3); В(2;3); С(6;-1) а) доказать что треугольник равнободренный, б) составить уравнение окружности с центром в точке С и радиусом СВ, в) найти длину медианы проведённую к основанию, г) считая АВСД- параллелограмм. Найти координаты точки Д

Answer 1

А) от точки A до точки B такое же расстояние как от точки A до точки C так как его можно найти по формуле если провести к обоим прямоугольные треугольники 
б) 6^2+(-1)^2=корень из 37
в) 4 корень из 3 
г)(4;-7)

Answer 2

Для начала, рассмотрим треугольник ABC с вершинами в точках A(0, -3), B(2, 3) и C(6, -1).

Доказательство равнобедренности треугольника

Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нам необходимо убедиться, что две его стороны равны.

Длина стороны AB можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения координат точек A и B, получим:

AB = sqrt((2 - 0)^2 + (3 - (-3))^2) = sqrt(2^2 + 6^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

Аналогично, длину стороны AC можно найти следующим образом:

AC = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

Подставляя значения координат точек A и C, получим:

AC = sqrt((6 - 0)^2 + (-1 - (-3))^2) = sqrt(6^2 + 2^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10)

Таким образом, мы видим, что стороны AB и AC имеют одинаковую длину 2 * sqrt(10). Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.

Уравнение окружности с центром в точке С и радиусом СВ

Для составления уравнения окружности с центром в точке C и радиусом СВ, нам необходимо использовать общую формулу окружности:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данном случае, центр окружности находится в точке C(6, -1), а радиус равен длине отрезка СВ.

Мы уже рассчитали длину стороны AB равной 2 * sqrt(10), поэтому радиус СВ равен половине этой длины, то есть sqrt(10).

Подставляя значения в уравнение окружности, получим:

(x - 6)^2 + (y - (-1))^2 = (sqrt(10))^2 (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 10

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке C и радиусом СВ задается уравнением (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 10.

Длина медианы проведенной к основанию

Для нахождения длины медианы проведенной к основанию, нам необходимо использовать формулу длины медианы в треугольнике:

m = sqrt(2 * (a^2 + b^2) - c^2) / 2

где a, b, c - длины сторон треугольника, m - длина медианы.

Медиана проведенная к основанию BC является медианой из вершины A. Длина стороны BC равна:

BC = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

Подставляя значения координат точек B и C, получим:

BC = sqrt((6 - 2)^2 + (-1 - 3)^2) = sqrt(4^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4 * sqrt(2)

Теперь мы можем рассчитать длину медианы AM:

AM = sqrt(2 * (AB^2 + AC^2) - BC^2) / 2 = sqrt(2 * ((2 * sqrt(10))^2 + (2 * sqrt(10))^2) - (4 * sqrt(2))^2) / 2 = sqrt(2 * (4 * 10 + 4 * 10) - 16 * 2) / 2 = sqrt(2 * (40 + 40) - 32) / 2 = sqrt(2 * 80 - 32) / 2 = sqrt(160 - 32) / 2 = sqrt(128) / 2 = 8 * sqrt(2) / 2 = 4 * sqrt(2)

Таким образом, длина медианы AM проведенной к основанию BC равна 4 * sqrt(2).

Координаты точки D

Из условия задачи нам известно, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Параллелограммы имеют противоположные стороны, которые параллельны и равны по длине. Из этого следует, что координаты точки D можно найти с помощью векторов.

Вектор AD можно найти, вычитая из координат точки C координаты точки B:

AD = (x4 - x2, y4 - y2) = (x4 - 2, y4 - 3)

Вектор AB можно найти, вычитая из координат точки B координаты точки A:

AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (2 - 0, 3 - (-3)) = (2, 6)

Так как AD и AB являются противоположными векторами, их координаты должны быть противоположными:

(x4 - 2, y4 - 3) = (-2, -6)

Решая данное уравнение, получим:

x4 - 2 = -2 x4 = 0

y4 - 3 = -6 y4 = -3 - 6 y4 = -9

Таким образом, координаты точки D равны (0, -9).

Итак, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным, составили уравнение окружности с центром в точке C и радиусом СВ, нашли длину медианы проведенной к основанию и нашли координаты точки D в параллелограмме ABCD.