Question

Даны точки А(-1;5;3) В(-1;3;9) С(3;-2;6) Доказать,что треугольник АВС-прямоугольный.

Answer 1

Достаточно убедиться, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Для этого считаем квадраты всех отрезков.
АВ^2 = 0^2 + 2^2 + 6^2 = 40
BC^2 = 4^2 + 5^2 + 3 ^2 = 50
AC^2 = 4^2 + 7^2 + 3^2 = 74
Видно, что квадрат АС меньше суммы двух других квадратов.
Треугольник остроугольный
Если ты ошибся в условии и точка B имеет по z координату не 9, а 8, тогда треугольник будет прямоугольным
АВ^2 = 29
BC^2 = 45
AC^2 = 74
Если нужно будет,то могу потом скинуть подробное решение,но треугольник по твоим координатам всё равно выходит-остроугольным 

Answer 2

Доказательство прямоугольности треугольника АВС:

Для доказательства прямоугольности треугольника АВС, мы можем воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Треугольник АВС будет прямоугольным, если векторное произведение одной из его сторон будет перпендикулярно к этой стороне.

1. Нахождение векторов сторон треугольника: Пусть \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), и \(\vec{BC}\) - векторы, соединяющие точки треугольника АВС. \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-1-(-1); 3-5; 9-3) = (0; -2; 6)\) \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (3-(-1); -2-5; 6-3) = (4; -7; 3)\) \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (3-(-1); -2-3; 6-9) = (4; -5; -3)\)

2. Нахождение векторного произведения: Для доказательства прямоугольности треугольника, мы можем вычислить векторное произведение двух его сторон. Пусть \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - векторы, соответствующие сторонам треугольника. Тогда векторное произведение \(\vec{u} \times \vec{v}\) будет нормалью к плоскости, образованной этими векторами.

3. Вычисление векторного произведения: \(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & 6 \\ 4 & -7 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(12-(-14)) - \vec{j}(0-24) + \vec{k}(0-(-8)) = 26\vec{i} + 24\vec{j} + 8\vec{k}\)

4. Проверка на перпендикулярность: Если векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) будет перпендикулярно вектору \(\vec{AB}\) или \(\vec{AC}\), то треугольник АВС будет прямоугольным.

5. Результат: Поскольку векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC} = 26\vec{i} + 24\vec{j} + 8\vec{k}\) не равно нулевому вектору и не параллельно ни вектору \(\vec{AB}\) (0; -2; 6) ни вектору \(\vec{AC}\) (4; -7; 3), то треугольник АВС является прямоугольным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник АВС является прямоугольным.