Question

5. Дано: А(0;2;-4), В(2;0;1), С(-1;5;3). a) Найти скалярное произведение векторов а = ВС и в = АВ. b) Перпендикулярны ли векторы а и в? c) Коллинеарны ли векторы а и в? d) Найдите длину вектора -2а + в.

Answer 1

Ответ:

АВ = (2, -2, 5)=a

ВС = (-3,3,7)=b

a·b=-6+-6+35=23

b) Нет, потому что их скалярное произведение ≠ 0

c) Нет, потому что их координаты не пропорциональны

d) -2a+b=(-7,7,-3), квадрат длины = 107, длина = $\sqrt{107}$

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые основные определения и формулы векторной алгебры.

1. Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение двух векторов a и b обозначается как a · b и определяется следующей формулой: a · b = |a| * |b| * cos(θ), где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, и θ - угол между ними.

2. Длина вектора: Длина вектора a обозначается как |a| и вычисляется по формуле: |a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2), где a1, a2 и a3 - координаты вектора a.

3. Перпендикулярные векторы: Векторы a и b называются перпендикулярными, если и только если их скалярное произведение равно нулю, то есть a · b = 0.

4. Коллинеарные векторы: Векторы a и b называются коллинеарными, если они параллельны или противоположно направлены, то есть a = k * b, где k - некоторое число.

Теперь перейдем к решению задачи.

a) Найдем скалярное произведение векторов a = ВС и в = АВ.

Вектор а: a = ВС = (2 - (-1), 0 - 5, 1 - 3) = (3, -5, -2).

Вектор b: b = АВ = (2 - 0, 0 - 2, 1 - (-4)) = (2, -2, 5).

Теперь вычислим скалярное произведение a · b: a · b = (3 * 2) + (-5 * -2) + (-2 * 5) = 6 + 10 - 10 = 6.

Ответ: Скалярное произведение векторов а и в равно 6.

b) Проверим, перпендикулярны ли векторы а и в. Для этого нужно вычислить их скалярное произведение и проверить, равно ли оно нулю.

Мы уже вычислили скалярное произведение в предыдущем пункте и получили a · b = 6.

Так как a · b ≠ 0, то векторы а и в не являются перпендикулярными.

Ответ: Векторы а и в не являются перпендикулярными.

c) Проверим, коллинеарны ли векторы а и в. Для этого нужно проверить, можно ли представить один вектор как кратное другого.

Мы знаем, что вектор а = ВС = (3, -5, -2), а вектор b = АВ = (2, -2, 5).

Чтобы проверить коллинеарность, найдем отношение соответствующих компонент векторов: (3/2) = (-5/-2) = (-2/5).

Отношение всех трех компонент равно, поэтому векторы а и в коллинеарны.

Ответ: Векторы а и в коллинеарны.

d) Найдем длину вектора -2а + в.

Вектор -2а: -2а = -2 * (3, -5, -2) = (-6, 10, 4).

Теперь сложим векторы -2а и в: -2а + в = (-6 + 2, 10 - 2, 4 + 5) = (-4, 8, 9).

Вычислим длину вектора -2а + в: |-2а + в| = sqrt((-4)^2 + 8^2 + 9^2) = sqrt(16 + 64 + 81) = sqrt(161).

Ответ: Длина вектора -2а + в равна sqrt(161).