Question

3. Дано: А(2;-1;0), К(0;6;3), С(1;-1;-2). a) Найти скалярное произведение векторов а = КС и в = АС. b) Перпендикулярны ли векторы а и в? c) Коллинеарны ли векторы а и в? d) Найдите длину вектора -3а - в.

Answer 1

а)

КС(1-0; -1-6; -2-3)

КС(1; -7; -5)

АС(1-2; -1+1; -2-0)

АС(-1; 0; -2)

АС×КС= -1×1+0×(-7)+(-2)×(-5)=-1+10=9

b)

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю→а и в не перпендикулярны

c)

Векторы коллинеарны, когда все их координаты относятся соответственно

(-1/1)≠(0/7)≠(-2/-5)→векторы не коллинеарны

d) -3a(-3; 21; 15)

-в(1; 0; 2)

с=-3а-в

с(-2; 21; 17)

|с|=√((-2)²+21²+17²=√734

Ответ: √734

Answer 2

Для выполнения данных задач, нам нужно знать как вычислять скалярное произведение векторов, проверять их перпендикулярность и коллинеарность, а также находить длину вектора. Давайте начнем с каждой части по порядку:

a) Скалярное произведение векторов a = КС и в = АС можно вычислить следующим образом:

a = КС = (0 - 1, 6 - (-1), 3 - (-2)) = (-1, 7, 5) в = АС = (1 - 2, -1 - (-1), -2 - 0) = (-1, 0, -2)

Скалярное произведение векторов a и в равно:

a·в = (-1 * -1) + (7 * 0) + (5 * -2) = 1 - 0 - 10 = -9

b) Для проверки перпендикулярности векторов a и в, нужно убедиться, что их скалярное произведение равно нулю. В данном случае a·в = -9, что не равно нулю, поэтому векторы a и в не являются перпендикулярными.

c) Для проверки коллинеарности векторов a и в, нужно убедиться, что один из них является кратным другому. Для этого найдем отношение их компонент:

a_x / в_x = (-1) / (-1) = 1 a_y / в_y = 7 / 0

Здесь второй компонент вектора в равен нулю, что означает, что мы не можем вычислить отношение a_y / в_y, и, следовательно, нельзя однозначно сказать, что векторы коллинеарны. Однако, поскольку a_x / в_x = 1, можно сказать, что они параллельны.

d) Чтобы найти длину вектора -3а - в, сначала найдем вектор -3а:

-3а = -3 * (-1, 7, 5) = (3, -21, -15)

Теперь вычислим разность векторов -3а - в:

-3а - в = (3, -21, -15) - (-1, 0, -2) = (3 + 1, -21 - 0, -15 + 2) = (4, -21, -13)

Длина вектора -3а - в равна корню из суммы квадратов его компонент:

| -3а - в | = √((4^2) + (-21^2) + (-13^2)) = √(16 + 441 + 169) = √(626) ≈ 25.02

Итак, длина вектора -3а - в приближенно равна 25.02.