Question

/В основі конуса проведено хорду завдовжки 12 см, що стягуе дугу, градусна міра якої дорівнюе 120. Кут мік Тірною конуса та площиною основи дорівнюе 60°. Знайдіть висоту конуса.

Answer 1

Ответ:

Высота конуса равна 12 см.

Объяснение:

В основании конуса проведена хорда длиной 12 см и стягивает дугу, градусная мера которой равна 120°. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. Найдите высоту конуса.

Дано: конус;

АВ = 12 см - хорда;

◡АВ = 120°;

∠КАО = 60°.

Найти: высоту КО.

Решение:

1. Рассмотрим ΔАОВ.

АО = ВО = R

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠АОВ = ◡АВ = 120°.

Найдем радиус по теореме косинусов:

• квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

АВ² = АО² + ОВ² - 2АО · ОВ · cos 120°

144 = R² + R² - 2R² · (-0,5)

144 = 3R²

R² = 48

R = 4√3 (см)

2. Рассмотрим ΔАКО - прямоугольный.

∠КАО = 60°, АО = R = 4√3 см

Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg\;60^0=\frac{KO}{AO} \\\\\sqrt{3}=\frac{KO}{4\sqrt{3} } \\\\KO=\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3} \\\\KO = 12$(см)

Высота конуса равна 12 см.

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання задачі скористаємося властивістю конуса: висота конуса є середньою лінією трикутника, утвореного радіусом основи, половиною хорди і висотою, опущеною на цю хорду.

В даному випадку, ми маємо конус, у якого кут між основою та площиною дорівнює 60°. Таким чином, кут між радіусом основи та хордою дорівнює половині кута між основою та площиною, тобто 30°.

Ми також знаємо, що довжина хорди дорівнює 12 см, а градусна міра дуги, стягнутої цією хордою, дорівнює 120°.

Застосуємо формулу для знаходження висоти конуса:

h = l * sin(α),

де h - висота конуса, l - довжина хорди, α - кут між радіусом основи та хордою.

Підставимо відомі значення:

h = 12 * sin(30°).

Синус 30° дорівнює 1/2, тому:

h = 12 * 1/2 = 6 см.

Отже, висота конуса дорівнює 6 см.