Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ У правильному тетраедрі ABCD CM=MB ( M∈CB ) . Знайдіть кут між прямими AM і BD.

Answer 1

В правильном тетраэдре ABCD точка M - середина BС. Найдите угол между прямыми AM и BD.

Прямая BD пересекает плоскость (ABC) в точке, не лежащей на прямой AM - прямые AM и BD скрещиваются.

Угол между скрещивающимися прямыми - угол между параллельными им пересекающимися прямыми.

Проведем MN||BD

∠AMN - искомый угол.  

Правильный тетраэдр, все грани - правильные треугольники.  

Пусть все ребра равны а

N - середина CD (т Фалеса)

MN=a/2 (средняя линия)

AM=AN =a√3/2 (медианы в равностороннем треугольнике)  

△MAN - равнобедренный

cos(AMN) =MN/2AM =2a/4a√3 =√3/6

∠AMN =arccos(√3/6)

Answer 2

Щоб знайти кут між прямими AM і BD, нам потрібно з'ясувати, як вони пов'язані зі сторонами тетраедра ABCD. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Крок 1: З'ясуємо, які точки представляють AM і BD.

AM - це пряма, яка проходить через точки A і M. BD - це пряма, яка проходить через точки B і D.

Крок 2: З'ясуємо, які сторони тетраедра ABCD відповідають цим прямим.

AM - це пряма, яка проходить через точки A і M. Оскільки AM не проходить через жодну зі сторін ABCD, ми не можемо прямо пов'язати AM зі сторонами тетраедра.

BD - це пряма, яка проходить через точки B і D. Оскільки BD проходить через точки B і D, ми можемо прямо пов'язати BD зі стороною AB або стороною AD тетраедра.

Крок 3: Виберемо одну зі сторін, пов'язаних з BD, і знайдемо кут між цією стороною і стороною, яка відповідає AM.

Давайте виберемо сторону AB для нашого прикладу. Тоді ми маємо сторону BD (яка проходить через точки B і D) і сторону AB тетраедра ABCD.

Крок 4: Знайдемо кут між сторонами BD і AB.

Так як CM = MB і M ∈ CB, ми можемо сказати, що точка M є серединою сторони CB. Отже, MB = MC.

Оскільки AM - це пряма, яка проходить через точки A і M, а AB - це сторона тетраедра ABCD, ми можемо сказати, що кут AMB - це кут між прямими AM і BD.

Оскільки MB = MC, кут AMB є прямим кутом (90 градусів).

Таким чином, кут між прямими AM і BD дорівнює 90 градусів.