Question

В треугольнике АВС: угол С = 30 градусам, АВ = 6 см, ВС = 8 см, ВН - высота, которая делит сторону АС на два отрезка, один из которых НС = 7 см, угол АВН = 30 градусам. Найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

Думаю так ) (фотка полностью не поместился)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся законами синусов и косинусов.

Обозначим угол A как \( \angle A \), угол B как \( \angle B \), и угол C как \( \angle C \). Также обозначим стороны треугольника как \( BC = a \), \( AC = b \), и \( AB = c \).

Известные данные: - \( \angle C = 30^\circ \) - \( AB = c = 6 \) см - \( BC = a = 8 \) см - \( \angle ABN = 30^\circ \) - \( NC = 7 \) см

Для начала найдем сторону \( AC \) с использованием закона косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle C) \]

Подставим известные значения: \[ AC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(30^\circ) \]

Рассчитаем \( AC \): \[ AC^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC^2 = 100 - 48\sqrt{3} \] \[ AC = \sqrt{100 - 48\sqrt{3}} \]

Теперь обратим внимание на треугольник \( ABN \). У нас есть угол \( \angle ABN \), сторона \( AN = NC = 7 \) см, и сторона \( AB = 6 \) см. Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны \( AN \): \[ \frac{AN}{\sin(\angle ABN)} = \frac{AB}{\sin(\angle BAN)} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{7}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(180^\circ - \angle ABN - 30^\circ)} \]

Решим уравнение относительно \( \sin(\angle BAN) \) и найдем угол \( \angle BAN \): \[ \sin(\angle BAN) = \frac{6}{7} \cdot \sin(30^\circ) \]

Теперь, у нас есть два угла треугольника \( ABN \), и мы можем найти третий угол \( \angle B \) (угол между \( AB \) и \( BC \)) вычитанием из суммы углов треугольника \( 180^\circ \) уже найденных углов: \[ \angle B = 180^\circ - 30^\circ - \angle BAN \]

Теперь, когда у нас есть стороны и углы треугольника \( ABC \), мы можем найти его площадь, используя формулу для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C) \]

Подставим известные значения и рассчитаем площадь.