Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8√3 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Answer 1

ответ приставлено на фото

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольную трапецию. Пусть \(ABCD\) - её основание, где \(AB\) - большая основа, \(CD\) - меньшая основа, \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны.

Из условия известно, что меньшая боковая сторона \(CD\) равна \(8\sqrt{3}\) см, а острый угол равен 60°. Также известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Так как у нас есть окружность, вписанная в трапецию, то сумма противоположных углов должна быть равна 180°. Так как угол \(A\) - прямой, то угол \(C\) тоже будет прямым углом. Таким образом, у нас есть следующие углы в трапеции: 90°, 60° и два прямых угла.

Теперь рассмотрим треугольник \(CDE\), где \(DE\) - радиус вписанной окружности. В этом треугольнике у нас есть углы 90°, 60° и 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Так как угол \(CDE\) равен 30°, то угол \(CED\) (угол, образованный меньшей боковой стороной и радиусом вписанной окружности) равен 60°.

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник \(CED\) с углом 60° между сторонами \(CD\) и \(DE\). Также, из условия, сторона \(CD\) равна \(8\sqrt{3}\) см.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Пусть \(F\) - точка, где высота пересекает \(DE\), и \(EF\) - высота треугольника \(CED\).

Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника: \(CDF\) и \(DEF\). Из свойств равнобедренных треугольников, мы можем утверждать, что \(CF = FD\) и \(EF = FD\).

Теперь мы можем выразить длину стороны \(DE\) (радиуса вписанной окружности) через \(CD\) и высоту треугольника \(CED\):

\[DE = EF + FD = CF + FD = CD = 8\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть длина радиуса вписанной окружности - \(DE\). Мы также знаем, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника формулой \(S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot p\), где \(p\) - полупериметр треугольника. В треугольнике \(CED\) полупериметр будет равен сумме сторон \(CD\), \(DE\) и \(CE\), деленной на 2:

\[p = \frac{CD + DE + CE}{2} = \frac{8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 8}{2} = 4\sqrt{3} + 4\]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника \(CED\):

\[S_{CED} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot p = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot (4\sqrt{3} + 4)\]

\[S_{CED} = 16\sqrt{3} + 16\]

Так как трапеция состоит из двух равнобедренных треугольников \(CED\) и \(CDE\), площадь трапеции равна сумме их площадей:

\[S_{\text{трапеции}} = 2 \cdot S_{CED} = 2 \cdot (16\sqrt{3} + 16)\]

\[S_{\text{трапеции}} = 32\sqrt{3} + 32\]

Итак, площадь трапеции равна \(32\sqrt{3} + 32\) квадратных см.